\langchapter{Théorie des ensembles}{Set theory} \label{set_theory}
%TODO Complete chapter

Source: \citeannexes{wikipedia_set_theory}

Un ensemble est une construction mathématiques qui réuni plusieurs objets en une même instance.
%A set is a mathematical construct to assemble multiple objects in a single instance.

$S = \{a,b,c\}$

\langsection{Axiomes}{Axioms}
%TODO Complete section

\langsubsection{Extensionnalité}{Extensionality}

$\forall A\forall B(\forall X(X \in A \Leftrightarrow X \in B) \Rightarrow A = B)$

\langsubsection{Spécification}{Specification}
%TODO Complete subsection

\langsubsection{Ensemble vide}{Empty set}

Il existe un ensemble vide notée $\emptyset$.

\langsubsection{Paire}{Pairing}
%TODO Complete subsection

\langsubsection{Réunion}{Union}
%TODO Complete section

Unite all elements of two given sets into one.

$n,m \in \N$

$A = \{a_0, \cdots, a_n\}$

$B = \{b_0, \cdots, b_m\}$

$A \union B = \{a_0, \cdots, a_n, b_0, \cdots, b_m\}$

\langsubsection{Scheme of replacement}{Scheme of replacement}
%TODO Complete subsection

\langsubsection{Infini}{Infinity}
%TODO Complete subsection

\subsection{Power set}
%TODO Complete subsection

For a set $S$ such that $|S| = n \Leftrightarrow \mathbf{P}(S) = 2^n$

\langsubsection{Choix}{Choice}
%TODO Complete subsection

\section{Intersection}

Unite all common elements of two given sets into one.

$n,m,i \in \N$

$A = \{a_0, \cdots, a_n, c_0, \cdots, c_n\}$

$B = \{b_0, \cdots, b_m, c_0, \cdots, c_n\}$

$A \cap B = \{c_0, \cdots, c_n\}$

\langsection{Différence des sets}{Set difference}
%TODO Complete section

\langsection{Fonction}{Function}

Source: \citeannexes{wikipedia_function_mathematics}

Une fonction $f$ est un tuple d'un domaine \citeannexes{wikipedia_domain_function} $A$ et un codomaine \citeannexes{wikipedia_codomain} $B$.

If the domain is the same as the codomain then the function is an endormorphsim \ref{definition:endomorphism} applied on set theory \ref{set_theory}.

\subsection{Notation}

$A \longrightarrow B$

$ x \longrightarrow f(x)$

\langsubsection{Injectivité}{Injectivity} \label{definition:injective}

Source: \citeannexes{wikipedia_injective_function}

Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{injective} si, et seulement si, $\forall (a,b) \in E, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$.

\langsubsection{Surjectivité}{Surjectivity} \label{definition:surjective}

Source: \citeannexes{wikipedia_surjective_function}

Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{surjective} si, et seulement si, $\forall y \in F, \exists x \in E : y = f(x)$.

\langsubsection{Bijectivité}{Bijectivity}

Source: \citeannexes{wikipedia_bijection} \label{definition:bijection}

Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{bijective} si, et seulement si, elle est à la fois injective \ref{definition:injective} et surjective \ref{definition:surjective} ou $\forall y \in F, \exists! x \in E : y = f(x)$.

Every bijection is an isomorphism \ref{definition:isomorphism} applied on set theory \ref{set_theory}.
