\langchapter{Algèbre}{Algebra}
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\section{Structures}
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\subsection{Monoïd}
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\langsubsection{Corps}{Field}
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\langsubsection{Anneau}{Ring}
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\section{Matrices}
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Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.

\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
	La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \{1, \cdots, n\}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
\end{definition_sq}

\subsection{Trace}
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$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum_{k=1}^na_{kk}$

$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$

$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\times\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$

\langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues}
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\subsubsection{Astuces pour le cas 2x2}

Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$

$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$

\langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors}
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\langsubsubsection{Polynôme caractéristique}{Characteristic polyonomial}
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\langsubsection{Déterminant}{Determinant}
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$\function{D}{\mathcal{M}_{m\times n}(\R)}{R}$

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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$\forall M \in \mathcal{M}_{m\times n}$
\begin{itemize}
	\item{$M' = \begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \end{pmatrix}M$}
	\item{$\forall \lambda \in K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
	\item{}
\end{itemize}

\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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$det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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\subsection{Inverse}
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$det(M) \neq 0$

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

\langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization}
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\langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
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$det(M) \in \{-1,1\}$

\subsection{Triangulation}
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$a \in Tr_n$

\langsection{Formes quadratiques}{Quadratic forms}
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\langsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2 = b$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
%TODO Complete subsection

$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$

\langsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
= b \Leftrightarrow X^TAX$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
%TODO Complete subsection

$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{3} & \frac{a_4}{3} \\\frac{a_2}{3} & a_2 & \frac{a_3}{3} \\\frac{a_3}{3} & \frac{a_4}{3} & a_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}
= b \Leftrightarrow X^TAX$

\langsubsection{Cas général}{General case}
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\langsubsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$

\langsubsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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$X \in \mathcal{M}_{1,n}$

$X = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$

$A \in \mathcal{T}^+_{n,n}$

$A = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$

\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces}
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Soit $(E,+)$ un groupe abélien (i.e. commutatif) de $\mathbb{K}$

\begin{itemize}
	\item{muni d'une loi de composition interne notée $+$}
	\item{muni d'une loi de composition externe $\mathbb{K}*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
\end{itemize}

\bigskip
Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \mathbb{K}, \forall(a,b,c) \in E$

\begin{itemize}
	\item{Commutativité $a + b = b + a$}
	\item{Associativité $(a + b) + c = a + (b + c)$}
	\item{Élement neutre de $+ \Leftrightarrow \exists 0_E \in E : a + 0_E = a$}
	\item{Élement neutre de $* \Leftrightarrow \exists 1_K \in K : a \cdot 1_K = a$}
	\item{Élement opposé $\forall a \in E, \exists b \in E : a + b = b + a = 0_E$}
	\item{Stabilité par $+ \Leftrightarrow a + b \in E$}
	\item{Distributivité $+$ de $\mathbb{K} \Leftrightarrow (\alpha+\beta)a=\alpha a + \beta a$}
	\item{Distributivité $*$ de $\mathbb{K} \Leftrightarrow (\alpha*\beta)a=\alpha(\beta a)$}
\end{itemize}

\langsubsection{sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces}
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Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $F \subset E$

\begin{itemize}
	\item{$F \ne \emptyset$}
	\item{$0_E \in F$}
	\item{$\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}, \forall(x,y)\in F, \alpha x+\beta y\in F$}
\end{itemize}