\langchapter{Algèbre}{Algebra}
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\section{Structures}
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\subsection{Magma} \label{definition:magma}

Soit un ensemble $S$ avec une loi de composition interne $(\star)$ notée $(S,\star)$ tel que $\forall(a,b) \in S, a \star b \in S$.

\langsubsection{Magma unital}{Unital magma} \label{definition:unital_magma}

Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,\star)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e \star a = a$.

\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid}

Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,\star)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.

\langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group}

Soit un monoïd \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$.

\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group}

Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.

\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}

Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesianProduct)$ notée $(F,+,\cartesianProduct)$.

\begin{itemize}
	\item{$(F,+)$ est un groupe \ref{definition:group} unital en $0_e$}
	\item{$(F\backslash\{0_e\},\cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}}
\end{itemize}

\langsubsubsection{Corps abélien}{Abelian field} \label{definition:abelian_field}

Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.

\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
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\section{Matrices}
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Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.

\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n + m$.
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
	La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \{1, \cdots, n\}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
\end{definition_sq}

\subsection{Trace}
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$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum\limits_{k=0}^na_{kk}$

$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$

$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$

\langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues}
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\subsubsection{Astuces pour le cas 2x2}

Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$

$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$

\langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors}
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\langsubsubsection{Polynôme caractéristique}{Characteristic polyonomial}
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\langsubsection{Déterminant}{Determinant}
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$\function{D}{\mathcal{M}_{m\cartesianProduct n}(\R)}{R}$

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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$\forall M \in \mathcal{M}_{m\cartesianProduct n}$
\begin{itemize}
	\item{$\forall \lambda \in \K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
\end{itemize}

\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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$det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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\subsection{Inverse}
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$det(M) \neq 0$

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

\langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization}
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\langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
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$det(M) \in \{-1,1\}$

\subsection{Triangulation}
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$a \in Tr_n$

\langsection{Formes quadratiques}{Quadratic forms}
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\langsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2 = b$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$

\langsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
= b \Leftrightarrow X^TAX$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{3} & \frac{a_4}{3} \\\frac{a_2}{3} & a_2 & \frac{a_3}{3} \\\frac{a_3}{3} & \frac{a_4}{3} & a_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}
= b \Leftrightarrow X^TAX$

\langsubsection{Cas général}{General case}
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\langsubsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$

\langsubsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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$X \in \mathcal{M}_{1,n}$

$X = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$

$A \in \mathcal{T}^+_{n,n}$

$A = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$

\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
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Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$

\begin{itemize}
	\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
\end{itemize}

\bigskip
Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$

\begin{itemize}
	\item{Unital en $*$}
	\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)a+\alpha a + \beta a$}
	\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)+(\alpha*\beta)a+\alpha(\beta a)$}
\end{itemize}

\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}

\begin{definition_sq}
Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si
$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
\end{definition_sq}

\langsubsection{Famille génératrice}{Generating family} \label{definition:vector_space_generating_family}

\begin{definition_sq}
Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} de $E$ si
$$\forall v \in E, \exists \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
\end{definition_sq}

\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}

\begin{definition_sq}
Une famille est dite une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
\end{definition_sq}

\subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension}
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\langsubsubsection{Rang}{Rank} \label{definition:vector_space_rank}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:vector_space_rank}
	Soit $E$ et $G$ $K$-e.v \ref{definition:sub_vector_space} et $\function{\phi}{E}{F}$.
	$\dim E = \dim \ker(\phi) + \dim im(\phi) = \dim \ker(\phi) = rg(\phi)$
\end{theorem_sq}

\langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
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Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est une sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :

\begin{itemize}
	\item{$F \ne \emptyset$}
	\item{$0_E \in F$}
	\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K, \forall(x,y)\in F, \alpha x + \beta y \in F$}
\end{itemize}

\begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces}
	Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalence (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}

Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$.

\impliespart

$(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$.

\Limpliespart

$(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$

Let $x \in F \setminus G$ and $y \in G \setminus F$

$(F\union G)$ s.e.v de $E \implies x + y \in F \union G$

B.W.O.C let's suppose $x + y \in F \setminus G$

$\implies (x + y) - x \in F \setminus G$

$\implies y \in F \setminus G \land y \in G \setminus F \implies \bot$

By a similar argument $y \notin G \setminus F$

$\implies (y \notin F \setminus G) \land (y \notin G \setminus F) \implies \bot$

$\implies F \subset G \lor  G \subset F$

\end{proof}

\langsubsection{Application linéaire}{Linear maps} \label{definition:linearity}

Une application linéaire est un morphisme \ref{definition:morphism}
appliqué à la catégorie \ref{definition:category}
des espaces vectoriels \ref{definition:vector_space}.

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}

Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$
\begin{itemize}
	\item{Additivity: $\forall(x,y) \in \mathbb{K}, f(x+y)=f(x)+f(y)$}
	\item{Homogeneity: $\forall(a,x) \in \mathbb{K}, f(ax)=af(x)$}
	\item{Or (a faster way): $\forall(a,x,y) \in \mathbb{K}, f(x + ay) = f(x) + af(y)$}
\end{itemize}

\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form} \label{definition:bilinear_form}

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}

Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E \cartesianProduct E}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants :

\begin{itemize}
	\item{$\forall u,v,w \in E, B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$}
	\item{$\forall u,v \in E, \forall a \in K, B(au,w) = aB(u,w)$}
	\item{$\forall u,v,w \in E, B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$}
	\item{$\forall u,v \in E, \forall a \in K, B(u,aw) = aB(u,w)$}
\end{itemize}

\langsubsection{Produit scalaire}{Inner product}

\langsubsubsection{Produit scalaire réel}{Real inner product}

\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}

Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respectes les axiomes suivants :

\begin{itemize}
	\item{Symétrie: $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
	\item{Non-dégénérescence: $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
\end{itemize}

\langsubsection{Norme Réel}{Real norm}

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}

Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{R_+}$ qui respectes les axiomes suivants :

\begin{itemize}
	\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
	\item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
	\item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
\end{itemize}

\langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}

A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire est appelé un espace pré-hilbertien.

\langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space}

Un espace euclidien est une espace pré-hilbertien réel à dimension finie.

\pagebreak

\section{Devoir Maison 1 : Algèbre multilinéaire}

\section{Exercice 1}

Soit $(E,\innerproduct{.}{.})$ un espace euclidien. On définit

$$\function{i}{E \setminus \{0\}}{E \setminus \{0\}}$$
$$\functiondef{x}{\frac{x}{\norm{x}^2}}$$

qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.

\begin{enumerate}
	\item{Montrer que $i$ est une bijection de $E \setminus \{0\}$ sur lui-même, vérifiant $i \composes i = id_E$}

	\begin{proof}\par
		Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve.

		$$i \composes i = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}^2} = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{\norm{x}^2}{\norm{x}^4}} = \frac{\norm{x}^2 x}{\norm{x}^2} = x = id_E$$
	\end{proof}

	\item{Montrer $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ On dit que $i$ est une application \textit{conforme}.}

	\begin{proof}\par
		Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$
		$$\frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{y}{\norm{y}^2}}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}\norm{\frac{y}{\norm{y}^2}}} = \frac{\frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}}{\frac{\norm{x}\norm{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
	\end{proof}

	\item{Démontrer que $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \norm{i(x) - i(y)} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$}

	\begin{proof}\par
		Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$
		$$\norm{i(x) - i(y)} = \norm{\frac{x}{\norm{x}^2} - \frac{y}{\norm{y}^2}} = \norm{\frac{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\norm{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$
		$$= \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{y}^2 x} - 2 \innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{x}^2 y} - \innerproduct{\norm{x}^2 y}{\norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\norm{y}^4 \norm{x}^2 - 2\norm{y}^2 \norm{x}^2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^4\norm{y}^2}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$
		$$= \frac{\sqrt{\norm{y}^2 \norm{x}^2 (\norm{y}^2 - 2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^2)}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x}\norm{y}\sqrt{\innerproduct{x - y}{x - y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
	\end{proof}

	\item{En déduire que pour tous $x,y,z \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$}

	\begin{proof}\par
		Posons $a,b \in E \setminus \{0\}$ tel que $a := i(y) - i(x)$ et $b := i(x) - i(z)$, puis utilisons l'inégalité triangulaire $\norm{a + b} \le \norm{a} + \norm{b}$ et développons.
		$$\norm{(i(y) - i(x)) + (i(x) - i(z))} = \norm{i(y) - i(z)} \le \norm{i(x) - i(z)} + \norm{i(x) - i(y)}$$
		Par le résultat de (3).
		$$\frac{\norm{y - z}}{\norm{y}\norm{z}} \le \frac{\norm{x - z}}{\norm{x}\norm{z}} + \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
		En multipliant par $\norm{x}\norm{y}\norm{z}$
		$$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$
	\end{proof}

	\item{En déduire que pour tous $a,b,c,d \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ C'est l'\textit{inégalité de Ptolémée}.}

	\bigskip
	Pour cette preuve nous aurons besoin de ce lemme :
	\begin{lemme_sq} \label{norm_diff_symetry}
		$\forall (e,f) \in E, \norm{e - f} = \norm{f - e}$
		\begin{proof}\par
			Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et soit $e,f \in E$.

			Comme $\exists (-1_K) \in \K(+, \cartesianProduct) \suchas (-1_K) \cartesianProduct (-1_K) = 1_K$.

			$$\norm{e - f} = \norm{-1_\K(f - e)} = \abs{-1_\K}\norm{f - e} = \norm{f - e}$$
		\end{proof}
	\end{lemme_sq}

	\begin{proof}\par
		Soit $a,b,c,d \in E$.

		Comme $E$ est un espace vectoriel et donc un groupe par $E(+)$.

		Posons $x,y,z \in E$ tel que $x := a - c$, $y := a - b$ et $z := a - d$.

		Ainsi, par le résultat (4).

		$$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$

		Par le lemme (\ref{norm_diff_symetry}).

		$$\norm{x}\norm{z - y} \le \norm{y}\norm{z - x} + \norm{z}\norm{y - x}$$

		En développant $x$, $y$ et $z$ on obtient

		$$\norm{a - c}\norm{(a - d) - (a - b)} \le \norm{a - b}\norm{(a - d) - (a - c)} + \norm{a - d}\norm{(a - b) - (a - c)}$$

		$$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$
	\end{proof}

	Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E | \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.

	\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E | \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
	% TODO Complete 6.

	Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E | \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.

	\item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$}
	% TODO Complete 7.
\end{enumerate}

