\pagebreak \columnratio{0.5} \begin{paracol}{2} Pierre Saunders \switchcolumn \begin{flushright} L3 Math 2024-25 Université Côte d'Azûr \end{flushright} \end{paracol} \begin{center} \section*{Introduction aux systèmes dynamiques} \end{center} \bigskip \subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique} % Emmanuel Militon Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) \suchthat n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes. Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet, on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme $$\function{T}{[0, 1]}{[0, 1]}$$ $$\functiondef{x}{\lambda x(1 - x)}$$ avec $0 < \lambda \le 4$. \subsubsection*{Premier pas…} Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante : $$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$ $$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$ Par induction sur le nombre d'applications successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$. En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e. $$x = \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}} = 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$ avec $\forall i \in \N, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne $$T_b(x) = b \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}} \mod 1 = d_1 + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1 = \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1 = 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_{m + 1} \cdots$$ Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudier les orbites de $T_b$ cela revient à étudier la périodicité des décimales $d_i$, hors, si une périodicité existe, le nombre $x$ est nécessairement rationnel \ref{theorem:repeating_decimals}. \begin{theorem_sq} Le tuple $([0, 1], d)$ avec la fonction $d$ défini comme : $$\function{d}{[0, 1]^2}{\R_+}$$ $$\functiondef{(x, y)}{\sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}}$$ est un espace métrique. \end{theorem_sq} \begin{proof} Comme $[0, 1]$ est habité, il suffit de montrer que la fonction $d$ est une métrique. Comme cette fonction est basée sur la métrique $\norm{.}_1$, les preuves sont immédiates : \begin{itemize} \item{Nul avec un élément et lui-même : $\forall x \in [0, 1], d(x, x) = \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - x_i}}{b^{i + 1}} = \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{0}{b^{i + 1}} = 0$} \item{Symétrie : $\forall (x, y) \in [0, 1]^2, d(x, y) = \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}} = \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{y_i - x_i}}{b^{i + 1}} = d(y, x)$} \item{Inégalité triangulaire : $\forall (x, y, z) \in [0, 1]^3, d(x, y) = \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}} \le \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i} + \abs{z_i - y_i}}{b^{i + 1}} = \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i}}{b^{i + 1}} + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{z_i - y_i}}{b^{i + 1}} = d(x, z) + d(z, y)$} \end{itemize} \end{proof} \begin{definition_sq} Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$. \end{definition_sq}