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\begin{paracol}{2}
Pierre Saunders

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\begin{flushright}
L3 Math 2024-25

Université Côte d'Azûr
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\end{paracol}

\begin{center}
\section*{Introduction aux systèmes dynamiques}
\end{center}

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\subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique}

% Emmanuel Militon
Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) | n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.

Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme

$$\function{T}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
$$\functiondef{x}{\lambda x(1 - x)}$$

avec $0 < \lambda \le 4$.

\subsubsection*{Premier pas ...}

Pour l'instant, nous nous intéressont à la fonction suivante :

$$\function{T_b}{[0, 1[}{[0, 1[}$$
$$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
$$\functiondef{z \in \C, \abs{z} = 1}{z^2}$$

En écrivant $x \in [0, 1[$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
$$x = \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i} = 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_m \cdots$$
avec $\forall i \in N^*, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne
$$T_b(x) = b \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i} \mod 1 = d_1 \sum\limits_{i = 2}^{+\infty} \frac{d_{i - 1}}{b^{i - 1}} \mod 1 = \sum\limits_{j = 1}^{+\infty} \frac{d_j}{b^j} =  0. d_2 d_3 d_4 \cdots d_{m + 1} \cdots$$
Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Par induction sur le nombre d'application successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$, donc pour étudier les orbites de $T_b$ cela revient à étudier la périodicités des décimales $d_i$, hors, si une périodicité existe, le nombre $x$ est nécéssairement rationnel \ref{theorem:repeating_decimals}.
