\begin{center}
\section*{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés}
\end{center}

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\subsubsection*{Exercice 1}
Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d'éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.

\subsubsubsection*{1.a}
Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.

Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$

$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$

Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que

$\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$

Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$

$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$

$\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$

$\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$

$\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$.

Par unicité de la limite, nous pouvons conclure.

\begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_1}
Toutes sous-suites (ou suites extraites) d'une suite convergente vers $l \in E$ convergent vers $l$.
\end{theorem_sq}

\subsubsubsection*{1.b}
Montrer que l'ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.

Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.

$\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \closure{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.

$\equivalence (x_n)$ est fermée.

\begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_2}
Toutes suites \suite{x} d'éléments de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
\end{theorem_sq}

\subsubsection*{Exercice 2}
Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.

Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d'accumulation dans $K$.

\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
Un sous ensemble K d'un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d'éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
\end{definition_sq}

\begin{lemme_sq}
$K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation.
\end{lemme_sq}

$K$ est compact

Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$

$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$

$\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$

$\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$

$\implies K$ possède un point d'accumulation

\begin{lemme_sq}
$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact.
\end{lemme_sq}

Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$

\paragraph*{Si $X$ est fini}

$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solutions ayant la même valeur.

$\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$

$\implies K$ possède un point d'accumulation

\paragraph*{Si $X$ est infini}

$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$

En fixant $l \in X$,

$\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$

$\implies K$ possède un point d'accumulation

\begin{theorem_sq}
$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact.
\end{theorem_sq}

\subsubsection*{Exercice 3}
Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum.

Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$

Selon le \textbf{Théorème \ref{topology_dm1:theorem_1}} et \textbf{\ref{topology_dm1:theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée

$\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$

$\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.

\begin{theorem_sq}
Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
\end{theorem_sq}

\subsubsection*{Exercice 4}
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d'éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si

$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$

Montrer qu'une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).

\begin{lemme_sq}
Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente.
\end{lemme_sq}

\begin{proof}

En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas.

$\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \B(l, \epsilon)$

$\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$

$\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.

\end{proof}

\begin{lemme_sq}
Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy.
\end{lemme_sq}

\begin{proof}

Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$

$\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$

$\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$

$\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$

$\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy.

\end{proof}

\begin{theorem_sq}
Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente.
\end{theorem_sq}
