\langchapter{Algèbre}{Algebra}
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\section{Structures}
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\subsection{Magma} \label{definition:magma}

Soit une structure $S$ avec une loi de composition interne $(+)$ notée $(S,+)$ tel que $\forall(a,b) \in S, a + b \in S$.

\langsubsection{Magma unital}{Unital magma} \label{definition:unital_magma}

Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,+)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e + a = a$.

\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid}

Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,+)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.

\langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group}

Soit un monoid \ref{definition:monoid} $(G,+)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a + a^{-1} = 0_e$.

\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group}

Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.

\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}

Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\times)$ notée $(F,+,\times)$.

\begin{itemize}
	\item{$(F,+)$ est un groupe \ref{definition:group} unital en $0_e$}
	\item{$(F\backslash\{0_e\},\times)$ est un groupe \ref{definition:group}}
\end{itemize}

\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
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\section{Matrices}
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Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.

\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n + m$.
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
	La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \{1, \cdots, n\}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
\end{definition_sq}

\subsection{Trace}
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$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum_{k=0}^na_{kk}$

$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$

$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\times\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$

\langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues}
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\subsubsection{Astuces pour le cas 2x2}

Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$

$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$

\langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors}
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\langsubsubsection{Polynôme caractéristique}{Characteristic polyonomial}
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\langsubsection{Déterminant}{Determinant}
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$\function{D}{\mathcal{M}_{m\times n}(\R)}{R}$

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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$\forall M \in \mathcal{M}_{m\times n}$
\begin{itemize}
	\item{$\forall \lambda \in \K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
\end{itemize}

\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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$det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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\subsection{Inverse}
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$det(M) \neq 0$

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

\langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization}
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\langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
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$det(M) \in \{-1,1\}$

\subsection{Triangulation}
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$a \in Tr_n$

\langsection{Formes quadratiques}{Quadratic forms}
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\langsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2 = b$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$

\langsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
= b \Leftrightarrow X^TAX$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{3} & \frac{a_4}{3} \\\frac{a_2}{3} & a_2 & \frac{a_3}{3} \\\frac{a_3}{3} & \frac{a_4}{3} & a_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}
= b \Leftrightarrow X^TAX$

\langsubsection{Cas général}{General case}
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\langsubsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$

\langsubsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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$X \in \mathcal{M}_{1,n}$

$X = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$

$A \in \mathcal{T}^+_{n,n}$

$A = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$

\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
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Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$

\begin{itemize}
	\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
\end{itemize}

\bigskip
Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$

\begin{itemize}
	\item{Unital en $*$}
	\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)a+\alpha a + \beta a$}
	\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)+(\alpha*\beta)a+\alpha(\beta a)$}
\end{itemize}

\langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
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Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est une sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :

\begin{itemize}
	\item{$F \ne \emptyset$}
	\item{$0_E \in F$}
	\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K, \forall(x,y)\in F, \alpha x + \beta y \in F$}
\end{itemize}

\begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces}
	Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalance (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}

Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$.

\begin{centering}
$\implies$
\end{centering}

$(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$.

\begin{centering}
$\Leftarrow$
\end{centering}

$(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$

Let $x \in F \setminus G$ and $y \in G \setminus F$

$(F\union G)$ s.e.v de $E \implies x + y \in F \union G$

B.W.O.C let's suppose $x + y \in F \setminus G$

$\implies (x + y) - x \in F \setminus G$

$\implies y \in F \setminus G \land y \in G \setminus F \implies \bot$

By a similar argument $y \notin G \setminus F$

$\implies (y \notin F \setminus G) \land (y \notin G \setminus F) \implies \bot$

$\implies F \subset G \lor  G \subset F$

\end{proof}

