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% \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
% \DeclareMathOperator{\composes}{\circ}		% New symbol composing morphisms
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% \title{Introduction aux systèmes dynamiques}
% \author{Pierre Saunders, William De Canteloube}
% \date{L3 Maths 2024-2025, Université Côte d'Azûr}

%\begin{document}

%\maketitle

\begin{paracol}{2}
Pierre Saunders

William De Canteloube
\switchcolumn
\begin{flushright}
L3 Math 2024-25

Université Côte d'Azûr
\end{flushright}
\end{paracol}

\begin{center}
\section*{Introduction aux systèmes dynamiques}
\end{center}

\bigskip

\subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique}

% Emmanuel Militon
Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) \suchthat n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.

Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet, on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme

$$\function{T}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
$$\functiondef{x}{\lambda x(1 - x)}$$

avec $0 < \lambda \le 4$.

\subsubsection*{Premier pas…}

Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante :

$$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
$$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$

\begin{prop_sq}
	$\forall x \in [0, 1], T_b^n(x) = b^n x \mod 1$.
\end{prop_sq}

\begin{proof}
	Soit $x \in [0, 1]$, procédons par induction sur le nombre d'applications successives $n$, la définition de la fonction $T_b$ est le cas initial à $n = 1$.
	Supposons l'hypothèse vraie pour un rang $n$ et prouvons l'hérédité $n + 1$.
	$$T_b^n(x) = b^n x \mod 1 \implies T_b \composes T_b^n(x) = b(b^n x) \mod 1 = b^{n + 1} x \mod 1 = T_b^{n + 1}(x)$$
\end{proof}

\begin{prop_sq} \label{prop:repeating_composition}
	Le nombre de points périodiques de longueur $n$ de la fonction $T_b$ est égal à $b^n - 1$.
\end{prop_sq}

\begin{proof}
	Soit $x \in [0, 1]$ un point périodique de longueur $n \implies T_b^n (x) = x$ or par \ref{prop:repeating_composition} $b^n x = x$
\end{proof}

En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
$$x
	= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
	= 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$
avec $\forall i \in \N, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne
$$T_b(x)
	= b \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}} \mod 1
	= d_1 + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
	= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
	= 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_{m + 1} \cdots$$
Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudier les orbites de $T_b$ cela revient à étudier la périodicité des décimales $d_i$, hors, si une périodicité existe, le nombre $x$ est nécessairement rationnel \ref{theorem:repeating_decimals}.

\begin{theorem_sq}
	Le tuple $([0, 1], d)$ avec la fonction $d$ défini comme :
	$$\function{d}{[0, 1]^2}{\R_+}$$
	$$\functiondef{(x, y)}{\sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}}$$
	est un espace métrique.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Comme $[0, 1]$ est habité, il suffit de montrer que la fonction $d$ est une métrique. Comme cette fonction est basée sur la métrique $\norm{.}_1$, les preuves sont immédiates :
	\begin{itemize}
		\item{Nul avec un élément et lui-même : $\forall x \in [0, 1], d(x, x)
			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - x_i}}{b^{i + 1}}
			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{0}{b^{i + 1}}
			= 0$}
		\item{Symétrie : $\forall (x, y) \in [0, 1]^2, d(x, y)
			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}
			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{y_i - x_i}}{b^{i + 1}}
			= d(y, x)$}
		\item{Inégalité triangulaire : $\forall (x, y, z) \in [0, 1]^3, d(x, y)
			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}
			\le \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i} + \abs{z_i - y_i}}{b^{i + 1}}
			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i}}{b^{i + 1}} + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{z_i - y_i}}{b^{i + 1}}
			= d(x, z) + d(z, y)$}
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{definition_sq}
	Un endomorphisme $f$ d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
\end{definition_sq}

ANNEXE

TODO : Theorem x in Q iff x has repeating decimals %\label{theorem:repeating_decimals}

%\end{document}