\langsubsection{Anneau}{Ring}

\begin{definition_sq} \label{definition:ring}
	Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire

	$\forall (a, b, c) \in R^3$
	\begin{itemize}
		\item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$}
		\item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$}
	\end{itemize}
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq} \label{definition:commutative_ring}
	Un anneau $(R, +, \star)$ est dit \textbf{commutatif} si l'opération $(\star)$ est commutatif, c'est-à-dire $$\forall (a, b) \in R^2, a \star b = b \star a$$
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq} \label{definition:subring}
	Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un ensemble $S \subseteq R$ est un \textbf{sous-anneau} si $(S, +, \star)$ est un anneau.
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq} \label{definition:ideal}
	Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un ensemble $I \subseteq R$ est un \textbf{idéal} si $(I, +)$ est un groupe et $\forall x \in I, \forall y \in R, \{ x \star y, y \star x \} \subset I$
\end{definition_sq}

\begin{theorem_sq}
	Soit $(R, +, \star)$, $(S, +, \star)$ ainsi que $\function{f}{(R, +, \star)}{(S, +, \star)}$ un homomorphisme.

	\begin{itemize}
		\item{$\ker f \subset R$ est un idéal}
		\item{$im f \subset S$ est un sous-anneau}
	\end{itemize}
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	\lipsum[2]
	% TODO Complete proof
\end{proof}

\begin{theorem_sq}
	Soit $(R, +, \star)$, $(S, +, \star)$ ainsi que $\function{f}{(R, +, \star)}{(S, +, \star)}$ est un monomorphisme si et seulement si $\ker f = \{ 0 \}$.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	\lipsum[2]
	% TODO Complete proof
\end{proof}

\begin{definition_sq}
	Soit $(R, +, \star)$ et $I \subset R$ un idéal. On définit \textbf{l'anneau quotient} $\function{q}{R}{R/I}$ le quotient du groupe abélien $(R, +)$ par le sous-groupe $I$.
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq} \label{definition:ring_unit}
	Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un élément $x \in R$ est dit \textbf{inversible} (on dit aussi que $x$ est une \textbf{unité}) s'il existe $y \in R$ tel que $x \star y = y \star x = \Identity_\star$

	On notera l'ensemble des unités $R^{\cartesianProduct}$.
\end{definition_sq}

\langsubsubsection{Morphisme d'anneau}{Ring morphism}

\begin{definition_sq} \label{definition:ring_morphism}
	Un \textbf{morphisme d'anneau} est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des anneaux ($\Ring$).

	Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux ainsi que l'application $\function{\phi}{R}{S}$ tel que

	$$\forall (a, b) \in R^2, \phi(a +_R b) = \phi(a) +_S \phi(b)$$
	$$\forall (a, b) \in R^2, \phi(a \cartesianProduct_R b) = \phi(a) \cartesianProduct_S \phi(b)$$
	$$\phi(\Identity_{\cartesianProduct_R}) = \Identity_{\cartesianProduct_S}$$
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq} \label{definition:ring_morphism_kernel}
	Soit $(R, +, \star)$ et $(S, +, \star)$ ainsi que d'un morphisme d'anneau $\function{\phi}{R}{S}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ x \in R \suchthat \phi(x) = \Identity_{+_S} \}$.
\end{definition_sq}

\begin{theorem_sq}
	Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux ainsi que l'homomorphisme $\function{\phi}{R}{S}$
	$$\phi(\Identity_{+_R}) = \Identity_{+_S}$$
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux, l'homomorphisme $\function{\phi}{R}{S}$ ainsi que $x \in R, y \in S$ tel que $\phi(x) = y$. Cela nous permet nous poser les équivalences suivantes

	$\phi(x +_R \Identity_R) = \phi(x) = \phi(\Identity_R +_R x) \equivalence y +_S \phi(\Identity_R) = y = \phi(\Identity_R) +_S y \equivalence \phi(\Identity_R) = \Identity_S$
\end{proof}