\langchapter{Suites}{Sequence} \lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est notée \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être définie de plusieurs manières :}% {A sequence of a set $E$ si a function from $\N$ or $\N^*$ to $E$ typically $\R$ and is noted \suite{u} and can be defined multiple ways :} \begin{itemize} \item{\lang{Par énumération}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$} \item{\lang{Par une formule explicite}{By an explicit formula}: $u_n = f(n)$} \item{\lang{Par récurrence à $k$ termes}{By recurring relation of $k$ terms}: $u_n = f(u_{k}, u_{k-1}, \cdots, u_{k_0})$} \end{itemize} \begin{definition_sq} \lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{arithmétique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}% {An arithmetic sequence is defined by $u_p = v$ and with a reccuring relationship $u_{n + 1} = u_n + r$ with $r \in E(+)$ called the raison of the sequence.} \end{definition_sq} \textit{Remarque} : Une suite arithmétique est le phénomène discret d'une progression linéaire. Il est possible d'exprimer une suite arithmétique \suite{u} en fonction d'un élément $u_p$, un rang $n$ et sa raison de la manière suivante : $r$, $u_n = u_p + (n - p)r$. \begin{definition_sq} \lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{géométrique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ avec $q \in E(\cartesianProduct)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}% {A \textbf{geometric} sequence is defined by an initial value $u_p$ et a recurring relationship $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ with $q \in E(\cartesianProduct)$ called the \textbf{ratio} of the sequence. } \end{definition_sq} \textit{Remarque} : Une suite géométrique est le phénomène discret d'une progression exponentielle. Il est possible d'exprimer une suite géométrique \suite{u} en fonction d'un élément $u_p$, un rang $n$ et sa raison $r$ de la manière suivante : $u_n = u_p \cartesianProduct r^{n - p}$. \begin{definition_sq} \lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \cartesianProduct u_n + b$ avec $a,b \in E(+,\cartesianProduct) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}% {A geometric sequence is defined by $$ } \end{definition_sq} \langsection{Limite de suite}{Limit of sequences} Lorsque $E = \R$ ou $\C$, une suite géométrique \suite{u} de raison $q$ a plusieurs comportements asymptotiques possibles selon la raison : \begin{itemize} \item{$\abs{q} < 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0$} \item{$q = 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 1$} \item{$q > 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = +\infty$} \item{$q \le 1$ alors la limite n'existe pas.} \end{itemize} \begin{definition_sq} \label{definition:cauchy_sequence} Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{suite de Cauchy} si $$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$ \end{definition_sq} \lang{Lorsque l'on tend $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.} \begin{theorem_sq} Le point d'adhérence d'une suite de Cauchy est unique. \end{theorem_sq} \begin{proof} Soit une suite de Cauchy \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$, supposons que cette suite a au moins un point d'adhérence Soit deux points d'adhérence $x$ et $y$ différents, comme $E$ est un espace séparé $\exists \epsilon \in R_+^*$ tel que l'on peut construire deux boules centrées en $x$ et $y$ tel que $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset$. Comme \suite{u} est une suite de Cauchy, $\exists N \in \N, \forall m,n \ge N$ tel que $d(u_n, u_m) < \frac{\epsilon}{4}$. Comme $x$ est un point d'adhérence $u_n \in \B(x, \frac{\epsilon}{4})$. Par inégalité triangulaire, $d(u_m, x) \le d(u_m, u_n) + d(u_n, x) = \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \implies u_m \in b(x, \frac{\epsilon}{2})$. Hors comme $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset \implies u_m \notin b(y, \frac{\epsilon}{2})$, sauf que cela contredit le fait que $y$ est un point d'adhérence. Il ne peut donc pas y avoir deux points d'adhérence différents dans une suite de Cauchy. \end{proof} \begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence} Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si $$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$ $$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, \forall u_n \in \B(l, \epsilon)$$ Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$. \end{definition_sq} \textit{Remarque} : Toute suite convergente est une suite de Cauchy, mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition. \begin{proof} Prenons la suite \suite{u} dans $\Q$ défini par $u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}$. \suite{u} est une suite de Cauchy, mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$ \end{proof} \begin{theorem_sq} Toute suite convergente est bornée. \end{theorem_sq} \begin{proof} Soit \suite{X} une suite convergente en $l$. % TODO Complete proof \end{proof} \begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence} Une suite \suite{u} d'un espace métrique $E$ est dite \textbf{divergente} en $+\infty$ ou $-\infty$ si $$\forall M \in E, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N \land n \ge n_0, (u_n > M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to +\infty) \lor (u_n < M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to -\infty)$$ Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$. \end{definition_sq} Remarque : une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$. \begin{definition_sq} \label{definition:stationary_sequence} Une suite \suite{u} de $E$ est dite \textbf{stationnaire} à partir de $n_0$ si $$\exists n_0 \in \N, \forall n \in N \land n \ge n_0, u_n = u_{n+1}$$ \end{definition_sq} Remarque : une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$. \begin{definition_sq} Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\cartesianProduct)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \cartesianProduct u_{n + 1}$. \end{definition_sq} \langsubsection{Critère de convergence}{Convergence criteria} Soit une suite \suite{u} d'un espace complet $E$ Si $\frac{u_{n + 1}}{u_n} < 1$ (strictement décroissante) et $\forall n \in \N, u_n > 0$ alors $u_n$ converge vers 0. Si $\frac{u_{n + 1}}{u_n} > 1$ (strictement croissante) et $\forall n \in \N, u_n < 0$ alors $u_n$ converge vers 0. Si $u_n$ est une suite stationnaire à partir d'un rang $n_0$ alors elle est trivialement convergente en $u_{n_0}$. \langsection{Séries}{Series} Une série est la somme infinie d'une suite donné \suite{u} et est notée $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$ Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commençant à un rang $N \in \N$ peut-être représenter par la forme suivante : $\sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n = \frac{ar^N}{1 - r}$ \begin{proof} Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commençant à un rang $N \in \N$ $$a \in \R^*, l = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n \implies \frac{l}{a} = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} r^n = r^N + r \sum\limits_{n = N + 1}^{+\infty}r^{n - 1}$$ Soit $m = n - 1 \implies n = m + 1$ $$\implies \frac{l}{a} = r^N + r \sum\limits_{m = N}^{+\infty}r^{m} = r^N + r \frac{l}{a}$$ $$\implies l = \frac{ar^N}{1 - r}$$ \end{proof} Corollaire : Pour $N = 0$ et $u_0 = 1$ qui la forme la plus commune $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$ \langsubsection{Représentation en séries}{Power series expansion} Soit $x \in ]-1, 1], \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} \frac{x^n}{n}$ \begin{proof} Soit $r \in ]-1, 1]$, posons $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-r)^n = \frac{1}{1 + r}$ $$\implies \int\limits_0^r \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-x)^n dx = \int\limits_0^r \frac{1}{1 + x} dx$$ Par le théorème de convergence monotone $$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int\limits_0^r (-x)^n dx = \ln(1 + r) \implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n \frac{r^{n + 1}}{n + 1} = \ln(1 + r)$$ Soit $n := n - 1$ $$\implies \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} \frac{r^n}{n} = \ln(1 + r)$$ \end{proof} $\ln(1 - x) = -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$ \begin{proof} Soit $r \in ]-1, 1]$, posons $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$ $$\implies \int\limits_0^r \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} x^n dx = \int\limits_0^r \frac{1}{1 - x} dx$$ Par le théorème de convergence monotone $$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int\limits_0^r x^n dx = -\ln(1 - r) \implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{r^{n + 1}}{n + 1} = -\ln(1 - r)$$ Soit $n := n - 1$ $$\implies -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{r^n}{n} = \ln(1 - r)$$ \end{proof} \langsubsection{Règle de d'Alembert}{Alembert's criteria} Source : \citeannexes{bibmaths_regle_alembert} \begin{theorem_sq} \label{critere:regle_alembert} Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors : \begin{itemize} \item{Si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.} \item{Si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.} \item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.} \end{itemize} \end{theorem_sq} \langsubsection{Règle de Cauchy}{Chauchy's criteria} Source : \citeannexes{bibmaths_regle_cauchy} \begin{theorem_sq} \label{critere:regle_cauchy} Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes. On suppose que $\abs{u_n}^\frac{1}{n} \to l \in [0, +\infty]$. Alors : \begin{itemize} \item{Si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).} \item{Si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.} \item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.} \end{itemize} \end{theorem_sq} \langsubsection{Lemme de Cesàro}{Cesàro's lemma} \begin{theorem_sq} \label{lemme:cesaro} Soit \suite{a} une suite de nombres complexes convergeant vers une limite $l$. Alors la suite \suite{u} défini comme $u_n := \frac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k$ converge vers $l$. \end{theorem_sq} Lorsqu'une suite est convergente, elle est convergente au sens de Cesàro. Il existe des exemples de suites qui ne sont ni convergentes, ni convergentes au sens de Cesàro. \langsubsection{Transformation et critère d'Abel}{Abel's transformation and criteria} \langsubsection{Critère d'Abel}{Abel's criteria} Source : \citeannexes{bibmaths_transformation_critere_abel} \begin{theorem_sq} \label{critere:abel} Soit \suite{a} et \suite{b} deux suites de nombres complexes vérifiant les propriétés suivantes : \begin{itemize} \item{$\sum\limits_{k = 0}^n a_k$ est bornée.} \item{$\exists! l \in \C, \sum\limits_{k = 0}^{+\infty} \abs{b_k - b_{k + 1}} \converges l$.} \item{$(b_n) \converges 0$.} \end{itemize} $\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente. \end{theorem_sq} \langsubsection{Théorème d'Abel}{Abel's theorem} \begin{theorem_sq} \label{theorem:abel} Soit $\function{f}{[a, b[}{\R}$ de classe $C^1$, et $\function{g}{[a, b[}{\R}$ de classe $C^0$ sur $[a, b[$ vérifiant \begin{itemize} \item{$f$ est décroissante.} \item{$\lim\limits_{x \to b}f(x) = 0$.} \item{$\exists M > 0$ tel que, $\forall x \in [a, b[, \abs{\int\limits_a^x g(t)dt} \ge M$.} \end{itemize} Alors $\int\limits_a^b f(t)g(t)dt$ converge. \end{theorem_sq} \langsubsection{Critère de Dirichlet}{Dirichlet's criteria} Source : \citeannexes{bibmaths_critere_dirichlet} \begin{theorem_sq} \label{critere:dirichlet} Soit \suite{a} une suite de nombres complexes et \suite{b} une suite de nombres réels vérifiant les propriétés suivantes : \begin{itemize} \item{$\sum\limits_{k = 0}^n a_k$ est bornée.} \item{$(b_n)$ est monotone.} \item{$(b_n) \converges 0$.} \end{itemize} $\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente. \end{theorem_sq} \langsubsection{Séries alternées}{Alternating Series} \begin{definition_sq} Une série de terme général \suite{u} $\in \R$ est \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$. \end{definition_sq} Source : \citeannexes{maths_adultes_series_numerique_1} \begin{theorem_sq} \label{critere:series_alternees} Soit \suite{a} $\in \R$ une suite monotone, et tendant vers $0 \implies \sum\limits_{n \in \N} (-1)^n a_n$ converge. De plus, $S_n := \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k a_k$, la somme partielle d'ordre $n$ et $R_n := \sum\limits_{k = n + 1}^{+\infty} (-1)^k a_k$, le reste d'ordre $n$. $\implies \forall n \in \N, S_{2n + 1} \le S \le S_{2n}, \abs{R_n} \le a_{n + 1}$ et $R_n$ est du signe de $(-1)^{n + 1}$. \end{theorem_sq} Par exemple : la série $\alpha \in \R, \sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est converge $\equivalence$ si $\alpha > 0$ \section{Zeta} \begin{definition_sq} \label{definition:zeta_function} The Riemman's Zeta function is defined as follows $$\function{\zeta}{\R}{\R_+}$$ $$\functiondef{s}{\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}}$$ \end{definition_sq} The Zeta function as several notable identities. With the Gamma function $\forall s \in \R \suchas s > 1, \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int\limits_0^{+\infty} \frac{x^{s - 1}}{e^x - 1}dx$ \begin{proof} Let $s \in \R$, and knowing that $$\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} x^{s - 1}e^{-x} dx$$ Let do a changement of variable such that $n \in \N^*, x = nt \implies dx = n dt$ $$\implies \Gamma(s) = \int\limits_{u = 0}^{u = \infty} nt^{s - 1} e^{-nt} ndt = \int\limits_{0}^{\infty} n^{s}t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt$$ $$\implies \forall n \in \N^*, \Gamma(s) \frac{1}{n^{s}} = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt$$ $$\implies \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \Gamma(s) \frac{1}{n^{s}} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt = \Gamma(s) \zeta(s)$$ Par le théoréme de convergence monotone $$\zeta(s)\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (e^{-t})^{n} dt$$ Pour un $t$ donné, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (e^{-t})^{n}$ est une série géométrique $$\zeta(s)\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{e^{-t}}{1 - e^{-t}} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{e^{-t} e^{t}}{(1 - e^{-t})e^{t}} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{1}{e^{t} - 1} dt$$ $$\implies \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int\limits_{0}^{\infty} \frac{t^{s - 1}}{e^{t} - 1} dt$$ \end{proof} With prime numbers, $\Pn$ is the set of prime numbers $$\forall s \in \R \suchas s > 1, \zeta(s) = \prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}}$$ We can also write this equality as a double sum $$\forall s \in \R \suchas s > 1, \ln \composes \zeta(s) = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{1}{mp^{sm}}$$ \begin{proof} Let $s \in \R \suchas s > 1$ and using the Euler product $\zeta(s) = \prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}}$ $$\implies \ln \composes \zeta(s) = \ln \left(\prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}} \right) = \sum\limits_{p \in \Pn} -\ln(1 - p^{-s})$$ Using the following power series $x \in \R \land -1 \le x < 1, \ln(1 - x) = -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$ $$\ln \composes \zeta(s) = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{p^{-sm}}{m} = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{1}{mp^{sm}}$$ \end{proof} \section*{Révisions} %TODO Remainders to change location La somme converge $\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^a$ quand $a < -1$ (critère de Riemann). $x \in \R \backslash \pi \backslash \Z, \sum\limits_{k=1}^N e^{2ikx} = \frac{e^{2i(N+1)x} - 1}{e^{2ix} - 1} - 1$ Soit $a < b \in \R$ et soit $\function{f}{]a, b]}{\R}$ une fonction continue. L'integrale $\int\limits_a^b f(t)dt$ converge des que \begin{itemize} \item{$f$ se prolonge en une fonction continue en $a$} \item{$\lim\limits_{t \to a} (t - a)^{\frac{1}{2}} f(t) = 0$} \item{$\int\limits_a^b \abs{f(t)}dt < +\infty$} \end{itemize} Une série est soit convergente ou divergente. Les séries suivantes convergent simplement sur $[0, 1]$ : \begin{itemize} \item{$f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$} \item{$f_n(x) = \frac{1}{1 + nx}$} \item{$f_n(x) = x^n$} \end{itemize} La série de fonction $f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$ est une série uniformément convergente sur $[0, 1]$. $\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge simplement, uniformément et normalement sur $\R$ Pour montrer qu'une série de fonctions $\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} f_n(x)$ est dérivable sur un intervalle $I$, on doit impérativement montrer que \begin{itemize} \item{chacune des fonctions $f_n$ est dériable sur $I$} \item{la série de fonctions $\sum\limits_{n \ge 1} f_n$ converge uniformément sur tout compact de $I$} \item{la série $\sum\limits_{n \ge 1} f_n(x)$ converge pour au moins un $x \in I$} \end{itemize}