\langchapter{Analyse Réel}{Real Analysis}

\begin{definition_sq}[Continuité en un point]
	Une fonction $\function{f}{I \subseteq \R}{\R}$ est dit \textbf{continue} en un point $a \in I$ si, et seulement si
	$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in I, \abs{x - a} < \delta \implies \abs{f(x) - f(a)} < \epsilon$$
\end{definition_sq}

\subsection*{Exemples}

Continu partout : $\Identity$, les polynômes, les fonctions trigonométriques

\subsection*{Contre-exemples}

Continu nulle part :
$$\function{1_\Q}{\R}{\{0, 1\} \subset \R} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q \end{cases}}$$

Continu en $0$ :
$$\function{\Identity_\Q}{\R}{\{0, 1\} \subset \R} \functiondef{x}{\begin{cases} x & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q \end{cases}}$$

\begin{definition_sq}[Continuité sur un intervalle]
	Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I \subseteq \R$ si et seulement si elle est continue sur tout $x \in I$, c'est-a-dire :

	$$\forall x \in I, \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall y \in I, \abs{x - y} < \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} < \epsilon$$
\end{definition_sq}

\begin{prop_sq}
	Soit une fonction $\function{f}{D \subseteq \R}{\R} \in C^0$
	$$\forall c \in \R, \quad cf \in C^0$$
\end{prop_sq}

\begin{proof}
	Soit une fonction $\function{f}{D \subseteq \R}{\R} \in C^0$, $c \in \R$, $x \in D$ et $\epsilon > 0$.
	Si $c = 0$, alors posons $\delta > 0$ quelconque, soit $y \in D$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$
	$$\abs{cf(x) - cf(y)} = \abs{0 - 0} = 0 < \epsilon$$

	Si $c \ne 0$, alors posons $\epsilon_f := \frac{\epsilon}{\abs{c}}$
	$$\frac{\epsilon}{\abs{c}} > 0
		\equivalence \frac{1}{\abs{c}} > 0
		\equivalence \abs{c} > 0$$

	Comme $f \in C^0$ cela nous permet de récupérer $\delta$. Soit $y \in D$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$
	$$\abs{cf(x) - cf(y)} = \abs{c} \abs{f(x) - f(y)} < \abs{c} \cdot \frac{\epsilon}{\abs{c}} = \epsilon$$
\end{proof}

\begin{prop_sq}
	Soit deux fonctions $\function{f,g}{D \subseteq \R}{\R}$ continue. Alors $f + g$ est continue.
\end{prop_sq}

\begin{proof}
	Soit deux fonctions $\function{f,g}{D \subseteq \R}{\R}$ continue ainsi que $x \in D$, $\epsilon > 0$.
	Choisissons $\frac{\epsilon}{2}$ pour obtenir $\delta_f$ et $\delta_g$.
	Posons $\delta = \min(\delta_f, \delta_g)$ ainsi que $y \in D$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$, par trichotomie,
	\begin{itemize}
		\item{si $\delta_f < \delta_g \implies \min(\delta_f, \delta_g) = \delta_f \implies \abs{x - y} < \delta_f < \delta_g$}
		\item{si $\delta_f = \delta_g \implies \min(\delta_f, \delta_g) = \delta_f \implies \abs{x - y} < \delta_f = \delta_g$}
		\item{si $\delta_f > \delta_g \implies \min(\delta_f, \delta_g) = \delta_g \implies \abs{x - y} < \delta_g < \delta_f$}
	\end{itemize}
	Cela permet de conclure :
	\columnratio{0.5}
	\begin{paracol}{2}
		$$\abs{x - y} < \delta_f \implies \abs{f(x) - f(y)} < \frac{\epsilon}{2}$$
		\switchcolumn
		$$\abs{x - y} < \delta_g \implies \abs{g(x) - g(y)} < \frac{\epsilon}{2}$$
	\end{paracol}
	$$\implies \abs{\bigl( f(x) + g(x) \bigr) - \bigl( f(y) + g(y) \bigr)}
		\le \abs{f(x) - f(y)} + \abs{g(x) - g(y)}
		< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}
		= \epsilon$$
\end{proof}

\begin{prop_sq}
	La fonction $x^n$ est continue sur $\R$ pour tout $n \in \N$
\end{prop_sq}

\begin{proof}
	Soit $x \in \R$, $n \in \N$ et $\epsilon > 0$. Si $n = 0$ alors posons $\delta > 0$ quelconque, posons $y \in \R$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$
	$$\abs{x^0 - y^0} = \abs{1 - 1} = 0 < \epsilon$$

	Dans le cas ou $n \ne 0$, posons $M := n(\abs{y} + 1)^{n - 1}$ ainsi que $\delta := \min(1, \frac{\epsilon}{M})$
	\begin{itemize}
		\item{Si $\delta = 1$ alors $\delta = 1 > 0$}
		\item{Si $\delta = \frac{\epsilon}{M}$ alors
		      $$\frac{\epsilon}{n(\abs{y} + 1)^{n - 1}} > 0
			      \equivalence n(\abs{y} + 1)^{n - 1} > 0
			      \equivalence (\abs{y} + 1)^{n - 1} > 0
			      \equivalence \abs{y} + 1 > 0
			      \equivalence \abs{y} > 0$$
		      }
	\end{itemize}

	Supposons $\abs{x - y} < \delta$
	$$ \abs{x^n - y^n}
		= \abs{(x - y)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} x^{n - k - 1} y^k}
		= \abs{x - y} \abs{\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} x^{n - k - 1} y^k}
		\le \abs{x - y} \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \abs{x^{n - k - 1}} \abs{y^k}$$

	Par étude de cas,
	\begin{itemize}
		\item{Si $\delta = 1$ alors $$\abs{x} - \abs{y} \le \abs{x - y} < 1 \implies \abs{x} < \abs{y} + 1$$}
		\item{Si $\delta = \frac{\epsilon}{M}$ alors
		      $$\delta = \frac{\epsilon}{M} \le 1 \implies \abs{x} - \abs{y} \le \abs{x - y} < \frac{\epsilon}{M} \le 1 \implies \abs{x} < \abs{y} + 1$$
		      }
	\end{itemize}

	Donc dans tous les cas, $\abs{x} < \abs{y} + 1$
	$$\abs{x - y} \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \abs{x^{n - k - 1}} \abs{y^k}
		< \abs{x - y} \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (\abs{y} + 1)^{n - k - 1} \abs{y^k}
		= \abs{x - y} n(\abs{y} + 1)^{n - 1} < \frac{\epsilon}{M} \cdot M = \epsilon$$
\end{proof}

\subsection*{Exemples}

Continu par morceaux

$$\function{1_\Q}{\R}{\{0, 1\} \subset \R} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q \end{cases}}$$

\begin{definition_sq}[Continuité uniforme]
	Soit $I \subset \R$ un intervalle, et $\function{f}{I \subset \R}{\R}$. On dit que $f$ est \textbf{uniformément continue} sur $I$ si
	$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall (x, y) \in I^2, \abs{x - y} < \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} < \epsilon$$
\end{definition_sq}

\subsection*{Exemples}

Fonction constantes

Fonction linéaire

Fonction absolue

$x^2$ sur $[-1, 3]$ avec $\delta = \epsilon/6$

\subsection*{Contre-exemples}

$$\exists \epsilon > 0, \forall \delta > 0, \exists (x, y) \in I^2, \left( \abs{x - y} < \delta \right) \land \left( \abs{f(x) - f(y)} \ge \epsilon \right)$$

$f(x) = 1/x$ continue simple sur $]0, 1]$ mais pas uniformément avec

$\epsilon := 1, 0 < a < min(\delta, \epsilon, 1/\epsilon)$ et $x := \sqrt{a/\epsilon}$, $y := x - a \implies a < \delta \land \abs{f(x) - f(y)} \ge \epsilon$

\begin{theorem_sq}[Théorème de Heine dans un espace métrique] \label{theorem:heine_metric_function}
	Soient $(X, d)$ un espace métrique compact et $(Y, d')$ un espace métrique quelconque. Toute application continue de $X$ dans $Y$ est uniformément continue.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	\lipsum[2]
	% TODO Complete proof
\end{proof}

\begin{corollary_sq}[Théorème de Heine dans $\R$]
	Toute application continue d'un segment $[a, b]$ dans $\R$ est uniformément continue.
\end{corollary_sq}

\begin{proof}
	Une fonction continue $\function{f}{[a, b]}{\R}$ est une fonction d'un fermé borné qui est également un sous-ensemble de $\R$, de cela,
	il suffit de prendre une métrique quelconque de $\R$ comme $\abs{.}$ pour conclure que $f$ est une fonction continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique et donc que $f$ est uniformément continue par \ref{theorem:heine_metric_function}.
\end{proof}