\pagebreak \columnratio{0.5} \begin{paracol}{2} Pierre Saunders \switchcolumn \begin{flushright} L3 Math 2024-25 Université Côte d'Azûr \end{flushright} \end{paracol} \begin{center} \section*{Devoir Maison 2 : Algèbre multilinéaire} \subsection*{Thème : Dualité linéaire, Bases duales et antéduales} \end{center} \bigskip \subsubsection*{Exercice 1.} Soit $E = \R_n[X]$ et soit $\Delta \in \L(E)$ l'endomorphisme défini par $\forall P \in E$, $$\Delta(P)(X) = P(X) - P(X - 1)$$ On introduit la famille de polynômes ($P_0, \cdots, P_n$) définie par $$P_0 = 1 \text{ et } \forall k \in \discreteInterval{0, n - 1}, P_{k + 1}(X) = \frac{1}{(k + 1)!} \prod\limits^k_{i = 0}(X + i) = \frac{X(X + 1) \cdots (X + k)}{(k + 1)!}$$ On note enfin $\phi_0 \in E^*$ la forme linéaire $\phi_0(P) = P(0)$ et pour tout $k \in \discreteInterval{1,n}, \phi_k(P) = {}^t(\Delta)^k(\phi_0)$. \begin{enumerate} \item{Montrer que pour tout $k \in \discreteInterval{1, n}, \Delta(P_k) = P_{k - 1}$. \begin{proof} $$\Delta(P_k) = P_k(X) - P_k(X - 1) = \frac{1}{(k + 1)!}\left[\prod\limits^k_{i = 0}(X + i) - \prod\limits^k_{i = 0}((X - 1) - i)\right] $$ $$= \frac{1}{(k + 1)!}\left[(X + k) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i) - (X - 1) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]$$ $$= \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]\left[(X + k) - (X + i)\right] = \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right](k + i) = P_{k - 1}$$ \end{proof} } \item{En déduire que ($P_0, \cdots, P_n$) est une base $E$, dont ($\phi_0, \cdots, \phi_n$) est la base duale. \begin{proof} \end{proof} } \item{Si $P \in \R_n[X]$, exprimer les coordonnées dans la base ($P_0, \cdots, P_n$) d'un polynôme $Q \in \R_{n + 1}[X]$ tel que $\Delta(Q) = P$. } \item{Justifier que deux polynômes $Q_1, Q_2 \in \R_n[X]$ tels que $\Delta(Q_1) = \Delta(Q_2)$ différent d'une constante. } \bigskip {\setlength\parindent{-25pt}\par\textit{Application :}} \bigskip \item{Justifier que si $\Delta(Q) = P$, alors $P(1) + \cdots + P(n) = Q(n) - Q(0)$. } \item{On suppose $n \ge 3$. Exprimer les coordonnées des polynômes $X, X^2$ et $X^3$ dans la base ($P_0, \cdots, P_n$). } \item{En déduire des expressions simples en fonction de $n$ des sommes suivantes \begin{enumerate} \item{$\sum\limits^n_{k = 1} k = 1 + 2 + \cdots + n$} \item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^2 = 1 + 2^2 + \cdots + n^2$} \item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^3 = 1 + 2^3 + \cdots + n^3$} \end{enumerate} } \end{enumerate}