\langchapter{Algèbre}{Algebra}
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\section{Structures}
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\subsection{Magma}

\begin{definition_sq} \label{definition:magma}
	Un magma est un ensemble $E$ avec une loi de composition interne $\function{\star}{E^2}{E}$ notée $(E, \star)$ tel que $\forall(a, b) \in E, a \star b \in E$.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Magma unital}{Unital magma}

\begin{definition_sq} \label{definition:unital_magma}
	Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} si $\exists 0_E \in E, \forall a \in E, 0_E \star a =  a \star 0_E = a$.
\end{definition_sq}

\begin{theorem_sq}
	L'élément neutre d'un magma unital $(E, \star)$ est unique.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $e, f$ deux éléments neutres d'un magma unital $(E, \star)$, par définition d'un élément neutre, on peut poser $e = e \star f = f = f \star e = e$
\end{proof}

\subsection{Monoïde}

\begin{definition_sq} \label{definition:monoid}
	Un monoïde $(E, \star)$ est un magma unital \ref{definition:unital_magma} dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Groupe}{Group}

\begin{definition_sq} \label{definition:group}
	Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_E$.
\end{definition_sq}

\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group}

\begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group}
	Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
\end{definition_sq}

\langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism}

\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism}
	Un morphisme de groupe est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des groupes ($\Grp$).

	Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ deux groupes ainsi que l'application $\function{\phi}{X}{Y}$ tel que

	$$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$

	Similairement, le diagramme suivant commute :

	\[\begin{tikzcd}
		X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\
		X \arrow[r, "\phi"] & Y
	\end{tikzcd}\]
\end{definition_sq}

\begin{theorem_sq}
	Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.

	$$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un épimorphisme \ref{definition:epimorphism}.

	$f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$

	$(G, +) \in Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
\end{proof}

\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}

Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesianProduct)$ notée $(F, +, \cartesianProduct)$.

\begin{itemize}
	\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $0_E$}
	\item{$(F\backslash\{0_E\}, \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}}
\end{itemize}

\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field} \label{definition:commutative_field}

Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
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\section{Matrices}
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Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.

\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
	La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \discreteInterval{1, n}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
\end{definition_sq}

\subsection{Trace}
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$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum\limits_{k=0}^na_{kk}$

$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$

$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$

\langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues}
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\subsubsection{Astuces pour le cas 2x2}

Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$

$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$

\langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors}
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\langsubsubsection{Polynôme caractéristique}{Characteristic polyonomial}
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\langsubsection{Déterminant}{Determinant}
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$\function{D}{\mathcal{M}_{m, n}(\R)}{R}$

\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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$\forall M \in \mathcal{M}_{m, n}$
\begin{itemize}
	\item{$\forall \lambda \in \K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
\end{itemize}

\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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$det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$

\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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\subsection{Inverse}

\begin{definition_sq} \label{definition:inversible_matrix}
	Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{inversible} sur $\K$ si et seulement si $det(A) \neq 0$.
\end{definition_sq}

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

\langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization}
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\begin{definition_sq} \label{definition:diagonalizable_matrix}
	Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{diagonalisable} sur $\K$ s'il existe une matrice inversible \ref{definition:inversible_matrix} $P \in GL_n(\K)$ ainsi qu'une matrice diagonale $D \in M_n(\K)$ tel que $A = PDP^{-1}$
\end{definition_sq}

\langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
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$det(M) \in \{-1,1\}$

\subsection{Triangulation}
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$a \in Tr_n$

\subsection{Exponentiation}
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\begin{definition_sq} \label{definition:exponentiation_matrix}
	Pour $A \in M_n(\K)$, on définit
	$$e^A := \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{A^n}{n!}$$
\end{definition_sq}

\begin{theorem_sq}
	Pour tout $A \in M_n(\K)$ converge dans $M_n(\K)$.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $A \in M_n(\K)$ ainsi qu'une norme subordonnée quelconque $\matrixnorm{.}$.

	$$\forall n \in \N, \matrixnorm{\frac{A^n}{n!}} \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
\end{proof}

\begin{theorem_sq}
	Pour tout $A,B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$ alors $e^{A + B} = e^A e^B = e^B e^A$.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $A,B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$. Posons $U_n := \frac{A^n}{n!}$ et $V_n := \frac{B^n}{n!}$, comme $U_n$ et $V_n$ converge absolument, leur produit de série $W_n := \sum\limits_{n \in \N} U_n \sum\limits_{k \in \N} V_k$ aussi. Hors,

	$$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n U_k V_{n - k} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!}$$

	comme $AB = BA$ et en tendant $n$ vers l'infini cela donne $\lim\limits_{n \to +\infty} W_n = e^A e^B = e^B e^A$

	Sachant la formule du binôme de Newton $(A + B)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{n!}{k! (n - k)!} A^k B^{n - k}$

	$$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{(A + B)^n}{n!}$$

	en tendant $n$ vers l'infini cela donne $\lim\limits_{n \to +\infty} W_n = e^{A + B}$
\end{proof}

\begin{theorem_sq}
	Pour tout $A \in M_n(\K)$, $e^A$ est inversible \ref{definition:inversible_matrix} et $(e^A)^{-1} = e^{-A}$
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $A \in M_n(\K)$, comme $A(-A) = -AA$ alors $e^{-A} e^A = e^A e^{-A} = e^{A - A} = e^0 = \Identity_n$
\end{proof}

\langsection{Formes quadratiques}{Quadratic forms}

\begin{definition_sq} \label{definition:quadratic_form}
	On appelle \textbf{forme quadratique} sur $E$ toute application $\function{q}{E}{\R}$ telle qu'il existe une forme bilinéaire symétrique \ref{definition:bilinear_form} $\function{b}{E \cartesianProduct E}{\R}$ telle que $\forall x \in E, q(x) = b(x, x)$
\end{definition_sq}

\begin{prop_sq}
	Si $q$ une forme quadratique \ref{definition:quadratic_form}, alors la forme bilinéaire $b$ associée est unique, déterminé par les \textbf{formules de polarisation}

	$$b(x, y) = \frac{1}{2}\left(q(x + y) - q(x) - q(y)\right)$$
	$$= \frac{1}{4}\left(q(x + y) - q(x - y)\right)$$

	On dit alors que $b$ est la \textbf{forme polaire} de $q$.
\end{prop_sq}

\begin{proof}
	Soit $q$ une forme quadratique \ref{definition:quadratic_form} ainsi que ça forme bilinéaire $b$ associée. Comme $\forall x \in E, q(x) = b(x, xx)$, on peut développer, par bilinéarité et symétrie de $b$, pour obtenir

	$$q(x + y) = b(x + y, x + y) = b(x, x) + 2b(x, y) + b(y, y) = q(x) + 2b(x, y) + q(y)$$

	Ainsi que

	$$q(x - y) = b(x - y, x - y) = b(x, x) - 2b(x, y) + b(y, y) = q(x) - 2b(x, y) + q(y)$$

	Les deux formules de polarisation s'en déduisent immédiatement.
\end{proof}

\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
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Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$

\begin{itemize}
	\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
\end{itemize}

\bigskip
Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$

\begin{itemize}
	\item{Unital en $*$}
	\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
	\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
\end{itemize}

\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}

\begin{definition_sq}
Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si
$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in \K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
\end{definition_sq}

\langsubsection{Famille génératrice}{Generating family} \label{definition:vector_space_generating_family}

\begin{definition_sq}
Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} de $E$ si
$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
\end{definition_sq}

\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}

\begin{definition_sq}
	Une famille est appelée une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
\end{definition_sq}

\subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension}
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\langsubsubsection{Rang}{Rank} \label{definition:vector_space_rank}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:vector_space_rank}
	Soit $E$ et $G$ $K$-e.v \ref{definition:sub_vector_space} et $\function{\phi}{E}{F}$.
	$\dim E = \dim \ker(\phi) + \dim im(\phi) = \dim \ker(\phi) = rg(\phi)$
\end{theorem_sq}

\langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
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Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est un sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :

\begin{itemize}
	\item{$F \ne \emptyset$}
	\item{$0_E \in F$}
	\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(x, y)\in F^2, \alpha x + \beta y \in F$}
\end{itemize}

\begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces}
	Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalence (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}

Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$.

\impliespart

$(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$.

\Limpliespart

$(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$

Let $x \in F \setminus G$ and $y \in G \setminus F$

$(F\union G)$ s.e.v de $E \implies x + y \in F \union G$

B.W.O.C let's suppose $x + y \in F \setminus G$

$\implies (x + y) - x \in F \setminus G$

$\implies y \in F \setminus G \land y \in G \setminus F \implies \bot$

By a similar argument $y \notin G \setminus F$

$\implies (y \notin F \setminus G) \land (y \notin G \setminus F) \implies \bot$

$\implies F \subset G \lor  G \subset F$

\end{proof}

\langsubsection{Application linéaire}{Linear map} \label{definition:linearity}

\begin{definition_sq} \label{defintion:linear_map}
	Une application $\function{f}{\K}{\K}$ est une \textbf{application linéaire} d'un $\K$-espace vectoriel $E$ si il respecte les axiomes suivants :
	\begin{itemize}
		\item{\lang{Additivité}{Additivity} : $\forall(x, y) \in E^2, f(x + y) = f(x) + f(y)$}
		\item{\lang{Homogénéité}{Homogeneity} : $\forall a \in \K, \forall x \in E, f(a x) = a f(x)$}
	\end{itemize}

	\lang{Ou de manière plus succincte}{Or a faster way)} : $\forall a \in \K, \forall(x, y) \in E^2, f(x + a y) = f(x) + a f(y)$

	Une application linéaire donc est un morphisme \ref{definition:morphism} appliqué à la catégorie \ref{definition:category} des espaces vectoriels \ref{definition:vector_space}.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form}

\begin{definition_sq} \label{definition:bilinear_form}
	Une forme bilinéaire est une application $\function{B}{E^2}{\K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respecte les axiomes suivants :

	$\forall (u, v, w) \in E^3, \forall a \in \K$

	\begin{itemize}
		\item{$B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)$}
		\item{$B(a u, w) = B(u, a w) = a B(u, w)$}
		\item{$B(u, w + v) = B(u, v) + B(u, w)$}
	\end{itemize}
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq} \label{definition:symmetric_bilinear_form}
	Une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} $\function{B}{E^2}{\K}$ est dite \textbf{symétrique} si $\forall (u, v) \in E^2, B(u, v) = B(v, u)$.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Produit scalaire}{Inner product}

\begin{definition_sq} \label{definition:inner_product}
	Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respecte les axiomes suivants :

	\begin{itemize}
		\item{Symétrie : $\forall(x, y) \in E^2, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
		\item{Non-dégénérescence : $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
	\end{itemize}
\end{definition_sq}

\langsubsubsection{Produit scalaire réel}{Real inner product}

\begin{definition_sq} \label{definition:real_inner_product}
	Un produit scalaire réel est un produit scalaire \ref{definition:inner_product} d'un $\R$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
\end{definition_sq}

\langsubsubsection{Produit scalaire complexe}{Complex inner product}

\begin{definition_sq} \label{definition:complex_inner_product}
	Un produit scalaire complexe est un produit scalaire \ref{definition:inner_product} d'un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Norme}{Norm}

\begin{definition_sq} \label{definition:norm}
	Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $E$ est une application $\function{\norm{.}}{K}{\R_+}$ qui respecte les axiomes suivants :

	\begin{itemize}
		\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
		\item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \K, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
		\item{Inégalité triangulaire : $\forall (x, y) \in E^2, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
	\end{itemize}
\end{definition_sq}

\langsubsubsection{Norme réelle}{Real norm}

\begin{definition_sq} \label{definition:real_norm}
	Une norme réelle est une norme \ref{definition:norm} d'un $\R$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
\end{definition_sq}

\langsubsubsection{Norme complexe}{Complex norm}

\begin{definition_sq} \label{definition:complex_norm}
	Une norme complexe est une norme \ref{definition:norm} d'un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}

\begin{definition_sq} \label{definition:prehilbertian_space}
Un $\K$-espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire $\innerproduct{-}{-}$ noté comme un tuple $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un \textbf{espace pré-hilbertien}.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space}

\begin{definition_sq} \label{definition:euclidian_space}
	Un \textbf{espace euclidien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} réel à dimension finie.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Espace Hermitien}{Hermitian Space}

\begin{definition_sq} \label{definition:hermitian_space}
	Un \textbf{espace hermitien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} complexe à dimension finie.
\end{definition_sq}
