\langchapter{Théorie des nombres}{Number theory} %TODO Complete chapter \langsection{Construction des entiers naturels $(\N)$}{Construction of natural numbers $(\N)$} %TODO Complete section \langsubsection{Axiomes de Peano}{Peano's Axioms} %TODO Complete subsection \langsubsection{Construction de Von Neumann}{Von Neumann's construction} %TODO Complete subsection Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0' $$0 := \emptyset$$ $$n+1 := \{n + 1\} \cup \Union_{k \in \N} n_k$$ $$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$$ \subsection{Construction de ??} %TODO Complete subsection Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0' $0 := \emptyset$ Using recursion, we can define all the following integers. $n + 1 := \{n\}$ $\N := \{0,1,2,3,\dots\}$ Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate and makes writing some proofs less verbose, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0. \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection \langsubsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete subsection \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability} \begin{definition_sq} \label{definition:countability} Un ensemble $E$ est dit \textbf{dénombrable} si, et seulement si, il existe une application injective \ref{definition:injective} de $E$ dans une partie de $\N$. \end{definition_sq} \langsubsection{Infini}{Infinity} \begin{theorem_sq} \label{theorem:smallest_infity} L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible. \end{theorem_sq} De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie. \begin{proof} La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme $\N_{2} = \{2n \mid n \in \N\}$ Ou $\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$ $\functiondef{n}{2n}$ On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante : $\function{g}{\N,\N}{\N_c}$ $\functiondef{n,c}{cn}$ \medskip Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$, par \ref{definition:countability} il sont donc de même "taille". \end{proof} \langsubsection{Propriétés}{Proprieties} %TODO Complete subsection \begin{itemize} \label{theorem:totally_ordered_natural_numbers} \item{L'ensemble est totalement ordonnée : $\forall n \in \N, \exists k \suchas k = n + 1 \land n < k$} \item{On peut diviser l'ensemble en deux ensembles distincts : $\forall n \in \N, \exists! k \in \N \suchas n := \begin{cases} 2k & \text{paire} \\ 2k+1 & \text{Impaire} \end{cases}$} \end{itemize} \begin{theorem_sq} Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N$. \end{theorem_sq} \begin{theorem_sq} $\sum\limits_{i=1}^n i = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ \end{theorem_sq} \langsection{Construction des entiers relatifs $(\Z)$}{Construction of relative numbers} %TODO Complete section $\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} = \Union_{n \in \N} n \union \Union_{n \in \N^*} -n$ \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection \langsubsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete subsection \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability} De manière intuitive, on pourrait croire que cet ensemble est "deux fois la taille" de $\N$, mais on peut démontrer que cela n'est pas le cas. \begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_integers} L'ensemble $\Z$ est dénombrable. \end{theorem_sq} \begin{proof} On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png} \end{center} Plus rigoureusement, nous pouvons construire explicitement une fonction injective $\function{f}{\Z}{\N}$ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$ \end{proof} \langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers} %TODO Complete section $\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land PGCD(p,q) = 1$ $\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$ \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection $\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$ \langsubsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete subsection \langsubsubsection{Égalité}{Equality} $\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} := \frac{pb + aq}{qb}$ $\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} := \frac{pa}{qb}$ $\implies \forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$ $\implies \forall (p,q) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{p}{q}$ L'opérateur est réflective \ref{definition:reflexivity} L'opérateur est associative \ref{definition:associativity} $\frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$ \begin{proof} Let $\forall (p,q), (m,n) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b}$ $$\implies pn = qm \land mb=na \implies pnmb = qmna \implies pmb = qma$$ if $m \neq 0$ $$\implies pb = qa \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$ otherwise $$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0 \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$ By proof by cases $\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$ \end{proof} \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability} De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas. \begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_rationals} L'ensemble $\Q$ est dénombrable. \end{theorem_sq} \begin{proof} On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant noté $G^+$ \begin{center} \includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png} \end{center} Nous pouvons construire le même graphique pour les nombres négatifs, noté $G^-$, puis nous pouvons construire une fonction tel que $G^+ \union \{0\} \union G^-$, or une union dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable. Plus rigouresement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective $P_i$ sont des nombres premiers. $\function{f}{\Q}{\N}$ $\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{\frac{p}{\abs{p}} - 1}{2}}P_2^pP_3^q}$ Hors, toutes fonctions injective dans $\N$ est dénombrable donc $\Q$ est dénombrable. \end{proof} \langsubsection{Propriétés}{Proprieties} %TODO Complete subsection Définissons $\floor{x}$ tel que $x - 1 < \floor{x} \le x < \floor{x} + 1$ \begin{theorem_sq} \label{theorem:repeating_decimals} Un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que $(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$ $\equivalence x \in \Q$ \end{theorem_sq} \begin{proof} \impliespart Supposons un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que $(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$ $\function{S}{\R}{\Z}$ $Sign(x) = \begin{cases}-1 & x < 0 \\ 1 & x \ge 0\end{cases}$ Posons $z \in \Z$ et $r \in \R$ tel que $z = Sign(x)\floor{\abs{x}}$ et $r = \fractional{x}$ ainsi que $x = z + r$. $r = 0, \overline{d_1d_2 \cdots d_n}$ $\implies 10^nr = d_1d_2 \cdots d_n, \overline{d_1d_2 \dots d_n}$ $\implies (10^n - 1)r = d_1d_2 \cdots d_n$ $\implies r = \frac{d_1d_2 \cdots d_n}{10^n - 1}$ $\implies r \in \Q \implies z + r \in \Q \implies x \in \Q$ \Limpliespart Supposons un nombre $x \in \Q$ tel que $p \in Z, q \in N^*, PGCD(p,q) = 1, x = \frac{p}{q}$ Lors d'une longue division on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par définition $0 \ge r < q$, si $r = 0$ alors la séquence de décimales se terminent, sinon il y a $q - 1$ possibilités possibles qui est un nombre fini et donc non répétable à l'infini, $\implies \exists n \in \N, r_n \in \Union_{k \ge 0} r_k$ est donc créer une séquence de décimales qui se répétera. \end{proof} \langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers} %TODO Complete section \langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction} Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson} \langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts} %TODO Complete subsection \langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers} %TODO Complete section Source: \citeannexes{wikipedia_complex_number} $\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $ $i^2 = -1$ \langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table} %TODO Complete subsection \begin{tabular}{|c||c|c|} \hline $\cartesianProduct$ & 1 & i \\ \hline \hline 1 & 1 & i \\ \hline i & i & -1 \\ \hline \end{tabular} \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations} %TODO Complete subsection $\forall ((a, b), (c, d)) \in \C, a = c \land b = d \equivalence a + ib = c + id$ \langsubsection{Opérateurs}{Operators} %TODO Complete subsection Il est impossible d'avoir une relation d'ordre dans le corps des complexes mais on peux construire une relation lexicographique. \subsubsection{Ordre lexicographique} $\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases} a < c & \implies a + ib < c + id \\ \otherwise & \begin{cases} b < d & \implies a + ib < c + id \\ \otherwise & \implies a + ib > c + id \end{cases} \end{cases}$ \section{Construction des quaternions $(\Hq)$} Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion} \langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table} %TODO Complete subsection \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|} \hline $\cartesianProduct$ & 1 & i & j & k \\ \hline \hline 1 & 1 & i & j & k \\ \hline i & i & -1 & k & -j \\ \hline j & j & -k & -1 & i \\ \hline k & k & j & -i & -1 \\ \hline \end{tabular} \section{Construction des octonions $(\Ot)$} Source: \citeannexes{wikipedia_octonion} \langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table} %TODO Complete subsection \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $\cartesianProduct$ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\ \hline \hline $e_0$ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\ \hline $e_1$ & $e_1$ & $-e_0$ & $e_3$ & $-e_2$ & $e_5$ & $-e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ \\ \hline $e_2$ & $e_2$ & $-e_3$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_6$ & $e_7$ & $-e_4$ & $-e_5$ \\ \hline $e_3$ & $e_3$ & $e_2$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $-e_4$ \\ \hline $e_4$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_6$ & $-e_7$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ \\ \hline $e_5$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $-e_3$ & $e_2$ \\ \hline $e_6$ & $e_6$ & $e_7$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_2$ & $e_3$ & $-e_0$ & $-e_1$ \\ \hline $e_7$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_3$ & $-e_2$ & $e_1$ & $-e_0$ \\ \hline \end{tabular} \smallskip $e_ie_j = \begin{cases} e_j, & \text{if i = 0} \\ e_i, & \text{if j = 0} \\ -\delta_{ij}e_0 + \epsilon_{ijk}e_k, & \text{otherwise}\end{cases}$ \smallskip Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur complètement anti-symétrique. \section{Construction des sedenions $(\Se)$} Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion} \langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table} %TODO Complete subsection \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $\cartesianProduct$ & i & j & k \\ \hline i & -1 & k & -j \\ \hline j & -k & -1 & i \\ \hline k & j & -i & -1 \\ \hline \end{tabular} \langsection{Nombres premiers}{Prime numbers} %TODO Complete section \begin{definition_sq} \label{definition:prime_number} Un nombre $n \in \N^*$ est dit premier si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit composé. \end{definition_sq} Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujours été le cas. \langsubsection{Infinité}{Infinity} \begin{theorem_sq} \label{theorem:prime_infinity} Il existe une infinité de nombres premiers. \end{theorem_sq} \begin{proof} \lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}% {By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.} Let $\Pn := \{p \mid p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$ $\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$ $\implies (\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn) \implies \bot$ $\implies \card{P} = \infty$ \end{proof} \langsubsection{Irrationnalité}{Irrationality} \langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square} \begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime} $\Pn$ is the set of all prime numbers \ref{definition:prime_number}. $\forall p \in \Pn, \sqrt{p} \notin \Q$ \end{theorem_sq} The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime}. \begin{proof} By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$ $a \in \Z, b \in \N^*, \text{PGCD}(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$ $\implies p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$ $\implies b^2p = a^2$ $\implies p \divides a$ Let $c \in \N^*$, $a = pc$ $\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2$ $\implies b^2 = pc^2$ $\implies p \divides b$ $\implies (p \divides b \land p \divides a \land \text{PGCD}(a,b)=1) \implies \bot$ $\implies \sqrt{p} \notin \Q$ \end{proof}