\pagebreak \columnratio{0.5} \begin{paracol}{2} Pierre Saunders \switchcolumn \begin{flushright} L3 Math 2022-23 Université Côte d'Azûr \end{flushright} \end{paracol} \begin{center} \section*{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés} \end{center} \bigskip \subsubsection*{Exercice 1} Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$. \subsubsubsection*{1.a} Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$. \\ Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$ $\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$ \\ Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que $\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$ \\ Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$ $\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$ $\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$ $\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$ $\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$. Par unicité de la limite nous pouvons conclure. \begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_1} Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$. \end{theorem_sq} \subsubsubsection*{1.b} Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné. \\ Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$. $\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \closure{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$. $\equivalence (x_n)$ est fermée. \begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_2} Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée. \end{theorem_sq} \subsubsection*{Exercice 2} Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble. Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$. \begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1] Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$. \end{definition_sq} \begin{lemme_sq} $K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation. \end{lemme_sq} $K$ est compact \\ Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$ $\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$ $\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$ $\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$ $\implies K$ possède un point d'accumulation \begin{lemme_sq} $K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact. \end{lemme_sq} Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$ \paragraph*{Si $X$ est fini} $\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur. $\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$ $\implies K$ possède un point d'accumulation \paragraph*{Si $X$ est infini} $\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$ En fixant $l \in X$, $\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$ $\implies K$ possède un point d'accumulation \begin{theorem_sq} $K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact. \end{theorem_sq} \subsubsection*{Exercice 3} Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum. Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$ Selon le \textbf{Théorème \ref{topology_dm1:theorem_1}} et \textbf{\ref{topology_dm1:theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée $\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$ $\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants. \begin{theorem_sq} Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum. \end{theorem_sq} \subsubsection*{Exercice 4} Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si $$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$ Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}). \\ \begin{lemme_sq} Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente. \end{lemme_sq} \begin{proof} En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas. $\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \B(l, \epsilon)$ $\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$ $\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy. \end{proof} \begin{lemme_sq} Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy. \end{lemme_sq} \begin{proof} Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$ $\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$ $\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$ $\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$ $\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy. \end{proof} \begin{theorem_sq} Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente. \end{theorem_sq}