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%\documentclass{article}
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%\usepackage{paracol}
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\columnratio{0.5}
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% Défini la longueur des marges du document (défault à 4.8cm)
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%\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
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%\usepackage{xcolor}
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% mode sombre
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%\definecolor{colour_bg} {HTML} {222324}
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%\definecolor{colour_fg} {HTML} {FFFFFF}
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% mode par défaut
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% \definecolor{colour_bg} {RGB} {255, 255, 255}
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% \definecolor{colour_fg} {RGB} {0, 0, 0}
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% \pagecolor{colour_bg}
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% \color{colour_fg}
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% \usepackage{mdframed}
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% \mdfsetup{linecolor = colour_fg, innerlinecolor = colour_fg, middlelinecolor = colour_fg, outerlinecolor = colour_fg, %
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% backgroundcolor = colour_bg, fontcolor = colour_fg}
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% Include missing symbols s.a "Natural Numbers"
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% \usepackage{amsfonts}
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%\usepackage{amssymb} % for '\blacksquare' macro
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% \usepackage{amsthm} % for 'proof' environment
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% \usepackage{mathtools}
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% \newcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
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% \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
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% \DeclareMathOperator{\composes}{\circ} % New symbol composing morphisms
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% \newcommand{\suchthat}{\mid}
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% \newcommand{\discreteInterval}[1]{[\![#1]\!]}
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% \newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natural numbers symbol
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% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Real numbers symbol
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% \DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
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% \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
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% \DeclareMathOperator{\intersection}{\cap}
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% \newtheorem{definition}{Définition}
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% \newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
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% \newtheorem{theorem}{Théorème}
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% \newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
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% Manière classique de créer le titre avec la commande maketitle
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% \title{Introduction aux systèmes dynamiques}
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% \author{Pierre Saunders, William De Canteloube}
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% \date{L3 Maths 2024-2025, Université Côte d'Azûr}
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%\begin{document}
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%\maketitle
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\begin{paracol}{2}
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Pierre Saunders
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William De Canteloube
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\switchcolumn
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\begin{flushright}
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L3 Math 2024-25
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Université Côte d'Azûr
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\end{flushright}
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\end{paracol}
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\begin{center}
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\section*{Introduction aux systèmes dynamiques}
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\end{center}
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\bigskip
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\subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique}
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% Emmanuel Militon
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Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) \suchthat n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.
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Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet, on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme
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$$\function{T}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
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$$\functiondef{x}{\lambda x(1 - x)}$$
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avec $0 < \lambda \le 4$.
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\subsubsection*{Premier pas…}
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Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante :
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$$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
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$$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
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\begin{prop_sq}
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$\forall x \in [0, 1], T_b^n(x) = b^n x \mod 1$.
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\end{prop_sq}
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\begin{proof}
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Soit $x \in [0, 1]$, procédons par induction sur le nombre d'applications successives $n$, la définition de la fonction $T_b$ est le cas initial à $n = 1$.
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Supposons l'hypothèse vraie pour un rang $n$ et prouvons l'hérédité $n + 1$.
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$$T_b^n(x) = b^n x \mod 1 \implies T_b \composes T_b^n(x) = b(b^n x) \mod 1 = b^{n + 1} x \mod 1 = T_b^{n + 1}(x)$$
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\end{proof}
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\begin{prop_sq} \label{prop:repeating_composition}
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Le nombre de points périodiques de longueur $n$ de la fonction $T_b$ est égal à $b^n - 1$.
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\end{prop_sq}
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\begin{proof}
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Soit $x \in [0, 1]$ un point périodique de longueur $n \implies T_b^n (x) = x$ or par \ref{prop:repeating_composition} $b^n x = x$
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\end{proof}
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En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
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$$x
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= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
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= 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$
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avec $\forall i \in \N, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne
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$$T_b(x)
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= b \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}} \mod 1
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= d_1 + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
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= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
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= 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_{m + 1} \cdots$$
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Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudier les orbites de $T_b$ cela revient à étudier la périodicité des décimales $d_i$, hors, si une périodicité existe, le nombre $x$ est nécessairement rationnel \ref{theorem:repeating_decimals}.
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\begin{theorem_sq}
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Le tuple $([0, 1], d)$ avec la fonction $d$ défini comme :
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$$\function{d}{[0, 1]^2}{\R_+}$$
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$$\functiondef{(x, y)}{\sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}}$$
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est un espace métrique.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Comme $[0, 1]$ est habité, il suffit de montrer que la fonction $d$ est une métrique. Comme cette fonction est basée sur la métrique $\norm{.}_1$, les preuves sont immédiates :
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\begin{itemize}
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\item{Nul avec un élément et lui-même : $\forall x \in [0, 1], d(x, x)
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= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - x_i}}{b^{i + 1}}
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= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{0}{b^{i + 1}}
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= 0$}
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\item{Symétrie : $\forall (x, y) \in [0, 1]^2, d(x, y)
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= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}
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= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{y_i - x_i}}{b^{i + 1}}
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= d(y, x)$}
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\item{Inégalité triangulaire : $\forall (x, y, z) \in [0, 1]^3, d(x, y)
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= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}
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\le \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i} + \abs{z_i - y_i}}{b^{i + 1}}
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= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i}}{b^{i + 1}} + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{z_i - y_i}}{b^{i + 1}}
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= d(x, z) + d(z, y)$}
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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Un endomorphisme $f$ d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
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\end{definition_sq}
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ANNEXE
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TODO : Theorem x in Q iff x has repeating decimals %\label{theorem:repeating_decimals}
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%\end{document}
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