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\langchapter{Algèbre}{Algebra}
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%TODO Complete chapter
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\section{Structures}
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%TODO Complete section
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\subsection{Magma}
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\begin{definition_sq} \label{definition:magma}
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Un magma est un ensemble $E$ avec une loi de composition interne $\function{\star}{E^2}{E}$ notée $(E, \star)$ tel que $\forall(a, b) \in E, a \star b \in E$.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Magma unital}{Unital magma}
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\begin{definition_sq} \label{definition:unital_magma}
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Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} si $\exists \Identity_E \in E, \forall a \in E, \Identity_E \star a = a \star \Identity_E = a$.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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L'élément neutre d'un magma unital $(E, \star)$ est unique.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $e, f$ deux éléments neutres d'un magma unital $(E, \star)$, par définition d'un élément neutre, on peut poser $e = e \star f = f = f \star e = e$
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\end{proof}
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\subsection{Monoïde}
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\begin{definition_sq} \label{definition:monoid}
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Un monoïde $(E, \star)$ est un magma unital \ref{definition:unital_magma} dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Groupe}{Group}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group}
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Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} tous les éléments sont inversibles i.e. $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = \Identity_G$.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:order_group}
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Le cardinal d'un groupe $(G, \star)$ est appelé \textbf{ordre du groupe}, dans le cas d'un cardinal fini, on parlera de \textbf{groupe fini}.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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L'élément inverse de tout élément d'un groupe $(G, \star)$ est unique.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $x \in G$ avec $a, b$ deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = \Identity_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star \Identity_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$.
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group}
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\begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group}
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Un groupe est dit \textbf{abélien} ou \textbf{commutatif} si la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Sous-groupe}{Subgroup}
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\begin{definition_sq} \label{definition:subgroup}
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Soit $(G, \star) \in \Grp$. Un sous-ensemble $H \subseteq G$ est un \textbf{sous-groupe} de $G$ si $H$ est également un groupe, dans ce cas on notera $H \leqslant G$.
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Les sous-groupes tels que $H = G$ ou $H = \{ \Identity_G \}$ sont appelées les \textbf{sous-groupes triviaux} de $G$.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated subgroup}
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\begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup}
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Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \mid k \in \Z \} \subseteq G$
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\end{definition_sq}
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\begin{proof}
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Soit un groupe $(G, \star)$ ainsi que $x \in G$. Comme $\generator{x} \subseteq G$, il suffit de vérifier l'élément neutre et l'inversibilité. Ce qui est immédiat avec la proposition suivante : $\forall y \in G, \forall p \in \Z, y^p \star y^{-p} = \Identity$.
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\end{proof}
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\langsubsubsection{Produit direct de groupe}{Direct product of groups}
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\begin{definition_sq} \label{definition:direct_product_group}
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Le \textbf{produit direct} ou \textbf{groupe produit} de deux groupes $(G, \star)$ et $(H, +)$ est l'ensemble $G \cartesianProduct H$ muni de l'opération $\function{\triangle}{(G \cartesianProduct H)^2}{G \cartesianProduct H} \hspace{1mm} \functiondef{(x_1, x_2) \cartesianProduct (y_1, y_2)}{(x_1 \star y_1, x_2 + y_2)}$
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism}
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Un morphisme de groupe est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des groupes ($\Grp$).
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ deux groupes ainsi que l'application $\function{\phi}{X}{Y}$ tel que
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$$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$
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Similairement, un morphisme de groupe est un morphisme tel que le diagramme suivant commute :
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\[\begin{tikzcd}
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X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\
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X \arrow[r, "\phi"] & Y
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\end{tikzcd}\]
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:identity_homomorphism_is_identity}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:honomorphism}.
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$$f(\Identity_G) = \Identity_H$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$.
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$$\forall x \in G, \left[ f(x) = f(x + \Identity_G) = f(x) \star f(\Identity_G) \right] \land \left[ f(x) = f(\Identity_G + x) = f(\Identity_G) \star f(x) \right] \equivalence f(\Identity_G) = \Identity_H$$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:inv_homomorphism_is_inv}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:honomorphism}.
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$$\forall x \in G, f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$.
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$$\forall x \in G, f(\Identity_G) = f(x + x^{-1}) = f(x) \star f(x^{-1})$$
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Par définition d'un morphisme $\exists y \in H, y = f(x)$ et par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}
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$$y \star f(x^{-1}) = \Identity_H \implies f(x^{-1}) = y^{-1} \implies f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_monomor_imp_ab}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un monomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:monomorphism}.
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$$(H, +) \in \Ab \implies (G, \star) \in \Ab$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un monomorphisme \ref{definition:monomorphism}.
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$f$ est un monomorphisme $\implies \forall (x, y) \in G^2 \land x \neq y, \exists! (a, b) \in H^2 \land f(a) = x \land f(b) = y$
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$\implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = y \star x$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_epimor_imp_ab}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
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$$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un épimorphisme \ref{definition:epimorphism}.
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$f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$
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$(G, +) \in \Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un isomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:isomorphism}.
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$$(G, +) \in \Ab \equivalence (H, \star) \in \Ab$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un isomorphisme \ref{definition:isomorphism}.
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\impliespart
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$(G, +) \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un épimorphisme $\implies (H, \star) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_epimor_imp_ab})
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\Limpliespart
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$(H, \star \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un monomorphisme $\implies (G, +) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_monomor_imp_ab})
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\end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism_kernel}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \mid \phi(g) = \Identity_G \}$.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ le noyau d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$ est un sous-groupe de $X$ et $\phi$ est injectif si et seulement si $\ker(\phi) = \{ \Identity_X \}$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$.
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\begin{itemize}
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\item{$\Identity_G \in \ker(\phi)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}}
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\item{$\forall (x, y) \in (\ker(\phi))^2, \phi(x \star y) = \phi(x) + \phi(y) = \Identity_H + \Identity_H = \Identity_H \implies x \star y \in \ker(\phi)$}
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\item{(Version longue) $\forall x \in \ker(\phi), \phi(x \star x^{-1}) = \phi(x) + \phi(x^{-1}) = \Identity_H + \phi(x^{-1}) = \phi(x^{-1}) = \Identity \implies x^{-1} \in \ker(\phi)$}
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\item{$\forall x \in \ker(\phi), \phi(x^{-1}) = \phi^{-1}(x) \equivalence \Identity_H^{-1} = \Identity_H$ (par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} et \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}) $\implies x^{-1} \in \ker(\phi)$}
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\end{itemize}
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$\implies \ker(\phi) \subgroup G$
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Soit $(x, y) \in G$
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$$\phi(x) = \phi(y) \implies \phi(x \star y^{-1}) = \phi(x) + \phi(y^{-1}) = \phi(x) + \phi^{-1}(y)$$
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Par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv}
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$$\phi(x) + \phi^{-1}(y) = \phi(x) + \phi(x) = \Identity_H \implies x \star y^{-1} = \Identity_G \in \ker(\phi) \implies x = y$$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$. Alors l'image $f(X) \subseteq Y$ est un sous-groupe de $Y$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$.
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\begin{itemize}
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\item{$\Identity_H \in \phi(X)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}}
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\item{$\forall (a', b') \in \phi(X)^2, \exists (a, b) \in X^2, a' = \phi(a) \land b' = \phi(b) \implies \phi(a) + \phi(b) = \phi(a \star b) \in \phi(X)$}
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\item{$\forall a \in \phi(X), \exists b \in X, a = \phi(b) \implies a^{-1} = \phi(b)^{-1} = \phi(b^{-1})$ par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} $\implies a^{-1} \in \phi(X)$}
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\langsubsection{Corps}{Field}
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\begin{definition_sq} \label{definition:field}
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Un corps $(F, +, \star)$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\star)$.
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\begin{itemize}
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\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $\Identity_E$}
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\item{$(F\backslash\{\Identity_E\}, \star)$ est un groupe \ref{definition:group}}
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\end{itemize}
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field}
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\begin{definition_sq} \label{definition:commutative_field}
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Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la seconde loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Anneau}{Ring}
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Source : \citeannexes{wikipedia_ring}
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\begin{definition_sq} \label{definition:ring}
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Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire
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$\forall (a, b, c) \in R^3$
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\begin{itemize}
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\item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$}
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\item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$}
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\end{itemize}
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\end{definition_sq}
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\section{Matrices}
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%TODO Complete section
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Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n, m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
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\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
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Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n, m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
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La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i, j) \in \discreteInterval{1, n}^2, M_{i, j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
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\end{definition_sq}
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\subsection{Trace}
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%TODO Complete subsection
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$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A) = \sum\limits_{k = 0}^na_{kk}$
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$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K), \K)$
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$\forall(A, B)\in\mathcal{M}_{n, p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p, n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$
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\langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues}
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%TODO Complete subsection
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\subsubsection{Astuces pour le cas 2x2}
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Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$
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$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2 - det(A)}$
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\langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsubsection{Polynôme caractéristique}{Characteristic polyonomial}
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%%TODO Complete subsubsection
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\langsubsection{Déterminant}{Determinant}
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%%TODO Complete subsection
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$\function{\det}{\mathcal{M}_{m, n}(\K)}{\R}$
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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%%TODO Complete subsubsection
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$\forall (A, B) \in \mathcal{M}_{m, n}(\K)^2$
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\begin{itemize}
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\item{$\forall \lambda \in \K, \det(\lambda A) = \lambda \det(A)$}
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\item{$\det(AB) = \det(A) \det(B)$}
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\end{itemize}
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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%TODO Complete subsubsection
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$det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsubsection
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\pagebreak
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\subsection{Inverse}
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\begin{theorem_sq}
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Le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Par définition la loi de composition $(\cartesianProduct)$ est un magma.
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%TODO Complete proof part of associativity
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La matrice $\Identity_n$ est l'élément neutre.
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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$\lnot(\forall (A, B, M) \in M_n(\K)^3, (M \ne 0 \land MA = MB) \equivalence A = B)$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(A, B, M) \in M_2(\K)^3$ tel que
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$M := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ \hspace{3mm} $A := \begin{pmatrix} 5 & 9 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ \hspace{3mm} $B := \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
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$MA = MB = \begin{pmatrix} -21 & -21 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$ alors que $M \ne 0 \land A \ne B$
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\end{proof}
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% \begin{theorem_sq}
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% $\lnot(\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, AB = 0 \implies A = 0 \lor B = 0)$
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% \end{theorem_sq}
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% \begin{proof}
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% Soit $(A, B) \in M^*_2(\K)^2$ tel que
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%
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% $A := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ \hspace{5mm} $B := \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
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%
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% $AB = 0$ alors que $A \ne 0 \land B \ne 0$
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% \end{proof}
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\begin{definition_sq} \label{definition:inversible_matrix}
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Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{inversible} sur $\K$ si et seulement s'il existe une matrice dite \textbf{inverse} $B \in M_n(\K)$ tel que $AB = \Identity_n = BA$.
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Nous pourrons noter cette inverse $A^{-1}$.
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\end{definition_sq}
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- La matrice identité est son propre inverse : $\Identity_n \cartesianProduct \Identity_n = \Identity_n$
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- Les matrices de transvection $T_{i, j}(a)$ sont inversibles : $(T_{i, j}(a))^{-1} = T_{i, j}(-a)$
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- Les matrices de dilatation $D_i(a)$ sont inversibles : $(D_i(a))^{-1} = D_i(a^{-1})$
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- Les matrices de permutation $P_{i, j}$ sont inversibles : $(P_{i, j})^{-1} = P_{i, j}$
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\begin{definition_sq} \label{definition:linear_group}
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L'ensemble des matrices inversibles est appelé \textbf{groupe linéaire} et est noté $GL_n(\K)$.
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Également, le tuple $(GL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
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\end{definition_sq}
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Par la théorie des groupes :
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\begin{itemize}
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\item{L'inverse est unique : $AB = AC = \Identity_n \implies B = C = A^{-1}$}
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\item{L'inverse d'un inverse est l'identité : $(A^{-1})^{-1} = A$}
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\item{Le produit de deux matrices inversibles est inversible : $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$}
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\end{itemize}
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La transposée d'un inverse et l'inverse de la transposée : $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
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$(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = \Identity_n^T = \Identity_n$
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\begin{theorem_sq}
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$\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \forall M \in GL_n(\K), (MA = MB) \equivalence A = B$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(A, B) \in M_n(\K)^2, M \in GL_n(\K)$ tel que $MA = MB$
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$\exists M^{-1} \in GL_n(\K), M^{-1}M = \Identity_n \implies M^{-1}(MA) = M^{-1}(MB) \equivalence (M^{-1}M)A = (M^{-1}M)B \equivalence A = B$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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L'ensemble des matrices de transvection et de dilatation engendre le groupe $GL_n(\K)$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $A \in GL_n(\K)$.
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On va appliquer l'algorithme du pivot de Gauss, nous allons transformer A en une matrice de dilatation, mais en utilisant uniquement des transvections.
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Comme A est inversible, sa première colonne n'est pas nulle.
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S'il existe $i > 1$ tel que $a_{i1} \ne 0$, alors l'opération $L_1 \leftarrow L_1 - \frac{a_{11}}{a_{i1}}L_i$ permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
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Sinon, nécessairement $a_{11} \ne 0$ et on fait $L_1 \leftarrow L_2$ et $L_2 \leftarrow -L_1$ pour se ramener au cas précédent.
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Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
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colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe
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des matrices de transvection $M1, \dots , Mp$ et $N1, \dots , Nq$ telles que
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$$\left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i\right) A \left(\prod\limits_{i = 1}^q N_i\right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$$
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où $A_1 \in GL_{n - 1}(\K)$.
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On itère ce procédé sur $A_1$ et ainsi de suite jusqu'à $\begin{pmatrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & \\ & & & \alpha \end{pmatrix}$
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où $\alpha = \prod_{v \in sp(A)} v$.
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Ainsi, il existe des matrices de transvection $U_1, \dots, U_r$ et $V_1, \dots, V_r$ telles que $A = U_r \dots U_1 D_n(\alpha) V_1 \dots V_s$
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Ainsi, tout matrice de $GL_n(\K)$ s'écrit comme produit de matrices de transvection et de dilatation.
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Une matrice $A \in M_n(\K)$ est inversible si et seulement si son rang est égal à son ordre (c'est-à-dire $\rank{A} = n$)
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $A \in M_n(\K)$
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\impliespart
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Supposons que la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = \Identity_n$.
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% TODO Fix proof...
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Alors, $\rank{A} = n$.
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En effet, si $\rank{A} = n$, ainsi, il existe une matrice colonne de taille $n$ qui est un multiple scalaire des colonnes de $A$, ce qui signifie que les vecteurs colonnes de $A$ sont linéairement indépendants.
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\Limpliespart
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Supposons que $\rank{A} = n$.
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Sachant que les matrices de dilatation et transvection conservent le rang, et que la matrice identité $\Identity_n$ à un rang de $n$
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alors, nous pouvons créer une séquence finie de $k$ matrices de dilatation et de transvection tel que $A = \prod\limits_{i = 1}^k E_i$.
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Hors comme toutes les matrices de dilation te de transvection sont inversibles ainsi que leur produit, ainsi, nous pouvons créer une autre séquence finie $B = \prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}$.
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On remarque de $AB = \left(\prod\limits_{i = 1}^k E_i\right) \left(\prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}\right) = \prod\limits_{i = 1}^k \Identity_n = \Identity_n$.
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Donc, non seulement $A$ est inversible, mais avons aussi un algorithme qui permet de calculer sa matrice inverse.
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% TODO Fix garbage AI proof...
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Dans cet article, nous prouvons que si le rang d'une matrice $A$ est égal à son ordre (taille),
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alors la matrice $A$ est inversible en utilisant des matrices élémentaires.
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Supposons que la matrice $A \in M_n(\K)$ et que $\rank{A} = n$.
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Montrer qu'il existe une matrice inversible composée de matrices élémentaires.
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Supposons que $A$ est une matrice de taille $n$ avec $\rank{A} = n$.
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Nous savons que pour toute opération sur les lignes (ou les colonnes),
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la matrice résultante aura un rang égal ou inférieur à la matrice originale $A$.
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Par conséquent, nous pouvons effectuer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ sans changer son rang.
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Soit $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces matrices élémentaires telles que leur produit est également une matrice élémentaire. Nous avons $A = \prod\limits_{i = 1}^n E_i$
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Puisque $\rank{A} = n$, et que chaque $E_i$ maintient le rang, il s'ensuit que toutes ces matrices sont des matrices élémentaires avec un élément pivot non nul (elles ne peuvent pas être la matrice zéro).
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On peut donc construire une matrice inversible composée uniquement de ces matrices élémentaires :
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\[ B = E_1(E_2(\cdots E_k(I_n))\cdots) \]
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Cette matrice $B$ est clairement inversible puisqu'elle a un pivot non nul dans chaque ligne (ou colonne), et donc son rang est égal à l'ordre de la matrice originale $A$.
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Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversible composée uniquement de matrices élémentaires.
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\end{proof}
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\pagebreak
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\begin{theorem_sq}
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Une matrice $A \in M_n(\K)$ est inversible sur $\K$ si et seulement si $det(A) \neq 0$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization}
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%TODO Complete subsection
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\begin{definition_sq} \label{definition:diagonalizable_matrix}
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Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{diagonalisable} sur $\K$ s'il existe une matrice inversible \ref{definition:inversible_matrix} $P \in GL_n(\K)$ ainsi qu'une matrice diagonale $D \in M_n(\K)$ tel que $A = PDP^{-1}$
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
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%TODO Complete subsection
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$det(M) \in \{-1, 1\}$
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\subsection{Triangulation}
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%TODO Complete subsection
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$a \in Tr_n$
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\subsection{Exponentiation}
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%TODO Complete subsection
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\begin{definition_sq} \label{definition:exponentiation_matrix}
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Pour $A \in M_n(\K)$, on définit
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$$e^A := \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{A^n}{n!}$$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Pour tout $A \in M_n(\K)$ converge dans $M_n(\K)$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $A \in M_n(\K)$ ainsi qu'une norme subordonnée quelconque $\matrixnorm{.}$.
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$$\forall n \in \N, \matrixnorm{\frac{A^n}{n!}} \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Pour tout $A, B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$ alors $e^{A + B} = e^A e^B = e^B e^A$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $A, B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$. Posons $U_n := \frac{A^n}{n!}$ et $V_n := \frac{B^n}{n!}$, comme $U_n$ et $V_n$ converge absolument, leur produit de série $W_n := \sum\limits_{n \in \N} U_n \sum\limits_{k \in \N} V_k$ aussi. Hors,
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$$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n U_k V_{n - k} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!}$$
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comme $AB = BA$ et en tendant $n$ vers l'infini cela donne $\lim\limits_{n \to +\infty} W_n = e^A e^B = e^B e^A$
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Sachant la formule du binôme de Newton $(A + B)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{n!}{k! (n - k)!} A^k B^{n - k}$
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$$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{(A + B)^n}{n!}$$
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en tendant $n$ vers l'infini cela donne $\lim\limits_{n \to +\infty} W_n = e^{A + B}$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Pour tout $A \in M_n(\K)$, $e^A$ est inversible \ref{definition:inversible_matrix} et $(e^A)^{-1} = e^{-A}$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $A \in M_n(\K)$, comme $A(-A) = -AA$ alors $e^{-A} e^A = e^A e^{-A} = e^{A - A} = e^0 = \Identity_n$
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\end{proof}
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\langsection{Formes quadratiques}{Quadratic forms}
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\begin{definition_sq} \label{definition:quadratic_form}
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On appelle \textbf{forme quadratique} sur $E$ toute application $\function{q}{E}{\R}$ telle qu'il existe une forme bilinéaire symétrique \ref{definition:bilinear_form} $\function{b}{E \cartesianProduct E}{\R}$ telle que $\forall x \in E, q(x) = b(x, x)$
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\end{definition_sq}
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\begin{prop_sq}
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Si $q$ une forme quadratique \ref{definition:quadratic_form}, alors la forme bilinéaire $b$ associée est unique, déterminé par les \textbf{formules de polarisation}
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$$b(x, y) = \frac{1}{2}\left(q(x + y) - q(x) - q(y)\right)$$
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$$= \frac{1}{4}\left(q(x + y) - q(x - y)\right)$$
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On dit alors que $b$ est la \textbf{forme polaire} de $q$.
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\end{prop_sq}
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\begin{proof}
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Soit $q$ une forme quadratique \ref{definition:quadratic_form} ainsi que ça forme bilinéaire $b$ associée. Comme $\forall x \in E, q(x) = b(x, xx)$, on peut développer, par bilinéarité et symétrie de $b$, pour obtenir
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$$q(x + y) = b(x + y, x + y) = b(x, x) + 2b(x, y) + b(y, y) = q(x) + 2b(x, y) + q(y)$$
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Ainsi que
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$$q(x - y) = b(x - y, x - y) = b(x, x) - 2b(x, y) + b(y, y) = q(x) - 2b(x, y) + q(y)$$
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Les deux formules de polarisation s'en déduisent immédiatement.
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\end{proof}
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\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
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%TODO Complete section
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Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
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\begin{itemize}
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\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\function{(\cdot)}{K \cartesianProduct E}{E}$ vérifiant $(\alpha, x) \rightarrow \alpha x$}
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\end{itemize}
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\bigskip
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Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$
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\begin{itemize}
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\item{Unital en $(\cdot)$}
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\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
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\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}
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\begin{definition_sq}
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Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si
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$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in \K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Famille génératrice}{Generating family} \label{definition:vector_space_generating_family}
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\begin{definition_sq}
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Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} de $E$ si
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$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
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\begin{definition_sq}
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Une famille est appelée une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
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\end{definition_sq}
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\subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsubsection{Rang}{Rank} \label{definition:vector_space_rank}
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%TODO Complete subsubsection
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:vector_space_rank}
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Soit $E$ et $G$ $K$-e.v \ref{definition:sub_vector_space} et $\function{\phi}{E}{F}$.
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$\dim E = \dim \ker(\phi) + \dim im(\phi) = \dim \ker(\phi) = \rank{\phi}$
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\end{theorem_sq}
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\langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
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%TODO Complete subsection
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Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est un sous-espace vectoriel (parfois notée « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :
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\begin{itemize}
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\item{$F \ne \emptyset$}
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\item{$\Identity_E \in F$}
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\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(x, y)\in F^2, \alpha x + \beta y \in F$}
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\end{itemize}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces}
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Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalence (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$.
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\impliespart
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$(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$.
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\Limpliespart
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$(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$
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Let $x \in F \setminus G$ and $y \in G \setminus F$
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$(F\union G)$ s.e.v de $E \implies x + y \in F \union G$
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B.W.O.C let's suppose $x + y \in F \setminus G$
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$\implies (x + y) - x \in F \setminus G$
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$\implies y \in F \setminus G \land y \in G \setminus F \implies \bot$
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By a similar argument $y \notin G \setminus F$
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$\implies (y \notin F \setminus G) \land (y \notin G \setminus F) \implies \bot$
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$\implies F \subset G \lor G \subset F$
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\end{proof}
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\langsubsection{Application linéaire}{Linear map} \label{definition:linearity}
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\begin{definition_sq} \label{defintion:linear_map}
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Une application $\function{f}{\K}{\K}$ est une \textbf{application linéaire} d'un $\K$-espace vectoriel $E$ si il respecte les axiomes suivants :
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\begin{itemize}
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\item{\lang{Additivité}{Additivity} : $\forall(x, y) \in E^2, f(x + y) = f(x) + f(y)$}
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\item{\lang{Homogénéité}{Homogeneity} : $\forall a \in \K, \forall x \in E, f(a x) = a f(x)$}
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\end{itemize}
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\lang{Ou de manière plus succincte}{Or a faster way)} : $\forall a \in \K, \forall(x, y) \in E^2, f(x + a y) = f(x) + a f(y)$
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Une application linéaire donc est un morphisme \ref{definition:morphism} appliqué à la catégorie \ref{definition:category} des espaces vectoriels \ref{definition:vector_space}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form}
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\begin{definition_sq} \label{definition:bilinear_form}
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Une forme bilinéaire est une application $\function{B}{E^2}{\K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respecte les axiomes suivants :
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$\forall (u, v, w) \in E^3, \forall a \in \K$
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\begin{itemize}
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\item{$B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)$}
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\item{$B(a u, w) = B(u, a w) = a B(u, w)$}
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|
\item{$B(u, w + v) = B(u, v) + B(u, w)$}
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\end{itemize}
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:symmetric_bilinear_form}
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Une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} $\function{B}{E^2}{\K}$ est dite \textbf{symétrique} si $\forall (u, v) \in E^2, B(u, v) = B(v, u)$.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Produit scalaire}{Inner product}
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\begin{definition_sq} \label{definition:inner_product}
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Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respecte les axiomes suivants :
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\begin{itemize}
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\item{Symétrie : $\forall(x, y) \in E^2, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
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\item{Non-dégénérescence : $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
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\end{itemize}
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Produit scalaire réel}{Real inner product}
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\begin{definition_sq} \label{definition:real_inner_product}
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Un produit scalaire réel est un produit scalaire \ref{definition:inner_product} d'un $\R$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Produit scalaire complexe}{Complex inner product}
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\begin{definition_sq} \label{definition:complex_inner_product}
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Un produit scalaire complexe est un produit scalaire \ref{definition:inner_product} d'un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Norme}{Norm}
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\begin{definition_sq} \label{definition:norm}
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Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $E$ est une application $\function{\norm{.}}{K}{\R_+}$ qui respecte les axiomes suivants :
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\begin{itemize}
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\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
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\item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \K, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
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|
\item{Inégalité triangulaire : $\forall (x, y) \in E^2, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
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\end{itemize}
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Norme réelle}{Real norm}
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\begin{definition_sq} \label{definition:real_norm}
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Une norme réelle est une norme \ref{definition:norm} d'un $\R$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Norme complexe}{Complex norm}
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\begin{definition_sq} \label{definition:complex_norm}
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Une norme complexe est une norme \ref{definition:norm} d'un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}
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\begin{definition_sq} \label{definition:prehilbertian_space}
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Un $\K$-espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire $\innerproduct{-}{-}$ noté comme un tuple $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un \textbf{espace pré-hilbertien}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space}
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\begin{definition_sq} \label{definition:euclidian_space}
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Un \textbf{espace euclidien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} réel à dimension finie.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Espace Hermitien}{Hermitian Space}
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\begin{definition_sq} \label{definition:hermitian_space}
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Un \textbf{espace hermitien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} complexe à dimension finie.
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\end{definition_sq}
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