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\langchapter{Théorie des nombres}{Number theory}
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\langsection{Construction des entiers naturels $(\N)$}{Construction of natural numbers $(\N)$}
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\langsubsection{Axiomes de Peano}{Peano's Axioms}
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\langsubsection{Construction de Von Neumann}{Von Neumann's construction}
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Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
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$$0 := \emptyset$$
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$$n+1 := \{n + 1\} \cup \Union_{k \in \N} n_k$$
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$$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$$
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\subsection{Construction de ??}
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Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
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$0 := \emptyset$
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Using recursion, we can define all the following integers.
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$n + 1 := \{n\}$
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$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$
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Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate and makes writing some proofs less verbose, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0.
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\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
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\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
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\begin{definition_sq} \label{definition:countability}
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Un ensemble $E$ est dit \textbf{dénombrable} si, et seulement si, il existe une application injective \ref{definition:injective} de $E$ dans une partie de $\N$.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Infini}{Infinity}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:smallest_infity}
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L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible.
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\end{theorem_sq}
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De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie.
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\begin{proof}
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La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
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$\N_{2} = \{2n \mid n \in \N\}$
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Ou
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$\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$
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$\functiondef{n}{2n}$
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On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante :
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$\function{g}{\N,\N}{\N_c}$
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$\functiondef{n,c}{cn}$
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\medskip
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Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$, par \ref{definition:countability} il sont donc de même "taille".
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\end{proof}
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\langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
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\begin{itemize} \label{theorem:totally_ordered_natural_numbers}
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\item{L'ensemble est totalement ordonnée : $\forall n \in \N, \exists k \suchas k = n + 1 \land n < k$}
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\item{On peut diviser l'ensemble en deux ensembles distincts : $\forall n \in \N, \exists! k \in \N \suchas n := \begin{cases} 2k & \text{paire} \\ 2k+1 & \text{Impaire} \end{cases}$}
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\end{itemize}
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\begin{theorem_sq}
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Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{theorem_sq}
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$\sum\limits_{i=1}^n i = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
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\end{theorem_sq}
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\langsection{Construction des entiers relatifs $(\Z)$}{Construction of relative numbers}
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$\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} = \Union_{n \in \N} n \union \Union_{n \in \N^*} -n$
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\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
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\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
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De manière intuitive, on pourrait croire que cet ensemble est "deux fois la taille" de $\N$, mais on peut démontrer que cela n'est pas le cas.
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_integers}
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L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant
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\begin{center}
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\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
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\end{center}
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Plus rigoureusement, nous pouvons construire explicitement une fonction injective
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$\function{f}{\Z}{\N}$
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$\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
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\end{proof}
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\langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
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%TODO Complete section
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$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land PGCD(p,q) = 1$
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$\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$
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\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
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%TODO Complete subsection
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$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
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\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsubsection{Égalité}{Equality}
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$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} := \frac{pb + aq}{qb}$
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$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} := \frac{pa}{qb}$
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$\implies \forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
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$\implies \forall (p,q) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{p}{q}$ L'opérateur est réflective \ref{definition:reflexivity}
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L'opérateur est associative \ref{definition:associativity}
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$\frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
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\begin{proof}
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Let $\forall (p,q), (m,n) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b}$
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$$\implies pn = qm \land mb=na \implies pnmb = qmna \implies pmb = qma$$
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if $m \neq 0$
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$$\implies pb = qa \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$
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otherwise
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$$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0 \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$
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By proof by cases $\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
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\end{proof}
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\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
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De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas.
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_rationals}
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L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant noté $G^+$
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\begin{center}
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\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
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\end{center}
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Nous pouvons construire le même graphique pour les nombres négatifs, noté $G^-$, puis nous pouvons construire une fonction tel que $G^+ \union \{0\} \union G^-$, or une union dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable.
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Plus rigouresement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective
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$P_i$ sont des nombres premiers.
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$\function{f}{\Q}{\N}$
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$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{\frac{p}{\abs{p}} - 1}{2}}P_2^pP_3^q}$
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Hors, toutes fonctions injective dans $\N$ est dénombrable donc $\Q$ est dénombrable.
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\end{proof}
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\langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
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%TODO Complete subsection
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Définissons $\floor{x}$ tel que $x - 1 < \floor{x} \le x < \floor{x} + 1$
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:repeating_decimals}
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Un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que
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$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$
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$\equivalence x \in \Q$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\impliespart
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Supposons un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que
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$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$
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$\function{S}{\R}{\Z}$
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$Sign(x) = \begin{cases}-1 & x < 0 \\ 1 & x \ge 0\end{cases}$
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Posons $z \in \Z$ et $r \in \R$ tel que $z = Sign(x)\floor{\abs{x}}$ et $r = \fractional{x}$ ainsi que $x = z + r$.
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$r = 0, \overline{d_1d_2 \cdots d_n}$
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$\implies 10^nr = d_1d_2 \cdots d_n, \overline{d_1d_2 \dots d_n}$
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$\implies (10^n - 1)r = d_1d_2 \cdots d_n$
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$\implies r = \frac{d_1d_2 \cdots d_n}{10^n - 1}$
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$\implies r \in \Q \implies z + r \in \Q \implies x \in \Q$
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\Limpliespart
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Supposons un nombre $x \in \Q$ tel que $p \in Z, q \in N^*, PGCD(p,q) = 1, x = \frac{p}{q}$
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Lors d'une longue division on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par définition $0 \ge r < q$, si $r = 0$ alors la séquence de décimales se terminent, sinon il y a $q - 1$ possibilités possibles qui est un nombre fini et donc non répétable à l'infini, $\implies \exists n \in \N, r_n \in \Union_{k \ge 0} r_k$ est donc créer une séquence de décimales qui se répétera.
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\end{proof}
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\langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}
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%TODO Complete section
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\langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}
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Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
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\langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts}
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%TODO Complete subsection
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\langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
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%TODO Complete section
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Source: \citeannexes{wikipedia_complex_number}
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$\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $
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$i^2 = -1$
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\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
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%TODO Complete subsection
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\begin{tabular}{|c||c|c|}
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\hline
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$\cartesianProduct$ & 1 & i \\
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\hline
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\hline
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1 & 1 & i \\
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\hline
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i & i & -1 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
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%TODO Complete subsection
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$\forall ((a, b), (c, d)) \in \C, a = c \land b = d \equivalence a + ib = c + id$
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\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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%TODO Complete subsection
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Il est impossible d'avoir une relation d'ordre dans le corps des complexes mais on peux construire une relation lexicographique.
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\subsubsection{Ordre lexicographique}
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$\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
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a < c & \implies a + ib < c + id \\
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\otherwise & \begin{cases}
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b < d & \implies a + ib < c + id \\
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\otherwise & \implies a + ib > c + id
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\end{cases}
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\end{cases}$
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\section{Construction des quaternions $(\Hq)$}
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Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
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\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
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%TODO Complete subsection
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\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
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\hline
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$\cartesianProduct$ & 1 & i & j & k \\
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\hline
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\hline
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1 & 1 & i & j & k \\
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\hline
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i & i & -1 & k & -j \\
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\hline
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j & j & -k & -1 & i \\
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\hline
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k & k & j & -i & -1 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\section{Construction des octonions $(\Ot)$}
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Source: \citeannexes{wikipedia_octonion}
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\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
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%TODO Complete subsection
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\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
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\hline
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$\cartesianProduct$ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
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\hline
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\hline
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$e_0$ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
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\hline
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$e_1$ & $e_1$ & $-e_0$ & $e_3$ & $-e_2$ & $e_5$ & $-e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ \\
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\hline
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$e_2$ & $e_2$ & $-e_3$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_6$ & $e_7$ & $-e_4$ & $-e_5$ \\
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\hline
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$e_3$ & $e_3$ & $e_2$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $-e_4$ \\
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\hline
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$e_4$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_6$ & $-e_7$ & $-e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ \\
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\hline
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$e_5$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_7$ & $e_6$ & $-e_1$ & $-e_0$ & $-e_3$ & $e_2$ \\
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\hline
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$e_6$ & $e_6$ & $e_7$ & $e_4$ & $-e_5$ & $-e_2$ & $e_3$ & $-e_0$ & $-e_1$ \\
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\hline
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$e_7$ & $e_7$ & $-e_6$ & $e_5$ & $e_4$ & $-e_3$ & $-e_2$ & $e_1$ & $-e_0$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\smallskip
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$e_ie_j = \begin{cases} e_j, & \text{if i = 0} \\ e_i, & \text{if j = 0} \\ -\delta_{ij}e_0 + \epsilon_{ijk}e_k, & \text{otherwise}\end{cases}$
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\smallskip
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Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur complètement anti-symétrique.
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\section{Construction des sedenions $(\Se)$}
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Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
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\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
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%TODO Complete subsection
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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$\cartesianProduct$ & i & j & k \\
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\hline
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i & -1 & k & -j \\
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\hline
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j & -k & -1 & i \\
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\hline
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k & j & -i & -1 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\langsection{Nombres premiers}{Prime numbers}
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%TODO Complete section
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\begin{definition_sq} \label{definition:prime_number}
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Un nombre $n \in \N^*$ est dit premier si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit composé.
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\end{definition_sq}
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Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujours été le cas.
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\langsubsection{Infinité}{Infinity}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:prime_infinity}
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Il existe une infinité de nombres premiers.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
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{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
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Let $\Pn := \{p \mid p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
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$\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$
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$\implies (\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn) \implies \bot$
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$\implies \card{P} = \infty$
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\end{proof}
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\langsubsection{Irrationnalité}{Irrationality}
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\langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime}
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$\Pn$ is the set of all prime numbers \ref{definition:prime_number}.
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$\forall p \in \Pn, \sqrt{p} \notin \Q$
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\end{theorem_sq}
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The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime}.
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\begin{proof}
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By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$
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$a \in \Z, b \in \N^*, \text{PGCD}(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
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$\implies p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$
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$\implies b^2p = a^2$
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$\implies p \divides a$
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Let $c \in \N^*$, $a = pc$
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$\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2$
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$\implies b^2 = pc^2$
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$\implies p \divides b$
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$\implies (p \divides b \land p \divides a \land \text{PGCD}(a,b)=1) \implies \bot$
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$\implies \sqrt{p} \notin \Q$
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\end{proof}
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