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\langchapter{Théorie des ensembles}{Set theory} \label{set_theory}
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Un ensemble est une construction mathématiques qui réuni plusieurs objets en une même instance.
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%A set is a mathematical construct to assemble multiple objects in a single instance.
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$S = \{a,b,c\}$
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\langsection{Axiomes}{Axioms}
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\langsubsection{Extensionnalité}{Extensionality}
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$\forall A\forall B(\forall X(X \in A \Leftrightarrow X \in B) \Rightarrow A = B)$
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\langsubsection{Spécification}{Specification}
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\langsubsection{Paire}{Pairing}
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\langsubsection{Réunion}{Union}
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Unite all elements of two given sets into one.
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$n,m \in \N^+$
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$A = \{a_1, \cdots, a_n\}$
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$B = \{b_1, \cdots, b_m\}$
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$A \cup B = \{a_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_m\}$
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\langsubsection{Scheme of replacement}{Scheme of replacement}
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\langsubsection{Infini}{Infinity}
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\subsection{Power set}
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\langsubsection{Choix}{Choice}
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\section{Intersection}
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\langsection{Différence des sets}{Set difference}
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\langsection{Fonction}{Function}
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Une fonction $f$ est un opération qui permet de transformer un ou plusieurs éléments d'un set $A$ en d'autres éléments d'un set $B$.
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\subsection{Notation}
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$A \longrightarrow B$
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$ x \longrightarrow f(x)$
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\langsubsection{Injectivité}{Injectivity}
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Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{injective} si, et seulement si, $\forall (a,b) \in E, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$.
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\langsubsection{Surjectivité}{Surjectivity}
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Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{surjective} si, et seulement si, $\forall y \in F, \exists x \in E : y = f(x)$.
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\langsubsection{Bijectivité}{Bijectivity}
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Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{bijective} si, et seulement si, elle est à la fois injective et surjective ou $\forall y \in F, \exists! x \in E : y = f(x)$.
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