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\langchapter{Logique}{Logic}
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La logique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des variables (notées $P,Q,R$) n'ayant pour valeur soit Vrai (noté \true), soit Faux (noté \false).
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%Logic consists of operations done on sole values : True $T$ and False $F$.
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\langsection{Relation Binaires}{Binary relations}
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\langsubsection{Réflexion}{Reflexivity}
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Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\forall a \in E, a \Rel a$.
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\langsubsection{Transitivité}{Transitivity}
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Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, a \Rel b \land b \Rel c \equivalance a \Rel c$.
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\langsubsection{Associativité}{Associativity}
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Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, (a \Rel b) \Rel c \equivalance a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$.
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\langsubsection{Commutativité}{Commutativity}
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Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, a \Rel b = b \Rel a$.
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\langsection{Opérateurs}{Operators}
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\langsubsection{NON}{NOT}
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$P \Leftrightarrow \lnot \lnot P$
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\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
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\begin{tabular}{|c|c|}
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P & $\lnot P$ \\
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\hline
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\false & \true \\
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\hline
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\true & \false \\
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\hline
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\end{tabular}
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\langsubsection{ET}{AND}
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$P \land Q \equivalance \lnot P \lor \lnot Q$
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\begin{tabular}{|c|c||c|}
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\hline
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P & Q & P $\land$ Q \\
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\hline
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\false & \false & \false \\
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\hline
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\true & \false & \false \\
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\hline
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\false & \true & \false \\
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\hline
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\true & \true & \true \\
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\hline
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\end{tabular}
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\langsubsection{OU}{OR}
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% TODO Complete subsection
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$P \lor Q \equivalance \lnot P \land \lnot Q$
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\medskip
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\begin{tabular}{|c|c||c|}
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\hline
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P & Q & P $\lor$ Q \\
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\hline
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\false & \false & \false \\
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\hline
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\true & \false & \true \\
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\hline
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\false & \true & \true \\
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\hline
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\true & \true & \true \\
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\hline
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\end{tabular}
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\subsection{Implication}
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%TODO Complete subsection
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\begin{tabular}{|c|c||c|}
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\hline
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P & Q & P $\Rightarrow$ Q \\
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\hline
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\false & \false & \true \\
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\hline
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\true & \false & \false \\
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\hline
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\false & \true & \true \\
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\hline
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\true & \true & \true \\
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\hline
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\end{tabular}
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\lang{Contraposée}{Contraposition } : \
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$\lnot Q \implies \lnot P$
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\langsubsection{Équivalence}{Equivalence}
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% TODO Complete subsection
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\begin{tabular}{|c|c||c|}
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\hline
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P & Q & P $\equivalance$ Q \\
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\hline
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\false & \false & \true \\
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\hline
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\true & \false & \false \\
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\hline
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\false & \true & \false \\
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\hline
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\true & \true & \true \\
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\hline
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\end{tabular}
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\langsubsection{OU exclusif / XOR}{Exclusive OR / XOR}
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%TODO Complete subsection
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$P \oplus Q \equivalance (P \lor Q) \land \lnot (P \land Q)$
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\begin{tabular}{|c|c||c|}
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\hline
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P & Q & $P \oplus Q$ \\
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\hline
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\false & \false & \false \\
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\hline
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\true & \false & \true \\
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\hline
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\false & \true & \true \\
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\hline
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\true & \true & \false \\
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\hline
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\end{tabular}
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