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\langchapter{Séries de Fourier}{Fourier Series}
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\section{Les fonctions $2\pi$-périodiques et leurs coefficients de Fourier}
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\subsection{Espaces de fonctions $2\pi$-périodiques}
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$$\function{f}{\R}{\C}$$
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$$\functiondef{t}{\sum\limits_{n \in \K} c_n(f)e^{int}}$$
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avec
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$$c_n(f) = \frac{1}{T} \int\limits_0^{T} f(t)e^{\frac{-int2\pi}{T}}dt$$
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\section*{Révisions}
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\subsection*{TD3}
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- On considère la fonction $\function{f}{\R}{\C}$, $2\pi$-périodique, telle que $f(x) = \abs{x}$ si $x \in [-\pi, \pi[$, cette fonction est $C^1$ par morceaux, continue et continue par morceaux. Son coefficient de Fourier vaut $c_2 = \int\limits_{-\pi}^\pi \abs{x}e^{-2ix}dx$
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- Lorsqu'une fonction $2\pi$-périodiques $f$ est à valeurs réels alors ses sommes de fourier $S_N(f)$ sont des fonctions à valeurs réelles, et ses coefficients de Fourier $a_n$ et $b_n$ sont tous des nombres réels.
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- Soit $f$ une fonction $C^2$, $2\pi$-périodique. Si je connais les coefficients de Fourier de $f$ je peux retrouver facilement ceux de $f'$ ainsi que ceux de $f''$, également on a $c_n(f) = O_{\abs{n} \to +\infty}(c_n(f'))$
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\subsection*{TD4}
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- Soit $f$ une fonction continue et $2\pi$ périodique. La suite $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n(f) = 0$, la suite $c_n(f)$ est bornée, la somme $\sum\limits_{n \in \Z} \abs{c_n(f)}^2$ est convergente.
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- Soit $f$ une fonction continue et $2\pi$ périodique. Si $S_N(f)$ converge simplement, alors sa limite simple est la fonction $f$. $\forall x \in \R$ la suite $((S_N(f))(x))$ converge au sens de Cesàro.
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- Soit $f$ une fonction $C^1$ par morceaux et $2\pi$ périodique. Les suites $((S_N(f))(x))$ convergent vers $f(x)$ pour tout $x$, sauf ceux où $f$ est discontinue. Les suites $((S_N(f))(x))$ convergent pour tout $x \in \R$.
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- $S_N(f) = D_N \star f$. Le noyau de Fejér est une fonction paire.
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\subsection*{TD4}
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- Soit $f$ une fonction continue et 1-périodique. $(S_N(f))(x) = \sum\limits_{n = -N}^N (\int\limits_0^1 f(t)e^{-2i\pi nt}dt)e^{2i\pi nx}$
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- Soit $u = u(t,x)$ une fonction $C^2$ sur $[0, +\infty[\times\R$, on suppose que $u$ est la solution de l'équation aux dérivées partielles $\frac{6u}{6t} = \frac{6^2u}{6^2x} \land u(t=0)=\sin(x) \implies u(t,x) = \sin(x)e^{-t}$
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- Soit $u_0 \in C^\infty([0, \pi])$ telle que $u_0(0) = u_0(\pi) = 0$, et soit $u = u(t,x)$ la solution de l'équation $\frac{6u}{6t} = \frac{6^2u}{6^2x} \land u(t=0)=u_0 \land u(t,0) = u(t,\pi) = 0$. La quantité $u(t,x)$ représente la température à l'instant $t$ et à la position $x$ d'une barre de métal de longueur $\pi$, maintenue à la température nulle à ses extrémités, et dont la distribution initiale de température est $u_0$. $\forall x \in [0, \pi]$, on a $\lim\limits_{t \to +\infty} u(t,x) = 0$
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- Soit $f$ une fonction $C^1$ et 2-périodique. $c_n(f') = in\pi c_n(f)$
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\subsection*{TD6}
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- $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{n!\times\sqrt{n}}{\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times\cdots\times(n + \frac{1}{2})} = \Gamma(\frac{1}{2})$
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- Pour calculer $\zeta(2)$ on peut utiliser les séries de Fourier, en particulier la formule de Parseval pour une fonction $2\pi$-périodique bien choisie, pour calculer $\zeta(n)$ lorsque $n \mod 2 = 0$
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