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\columnratio{0.5}
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\begin{paracol}{2}
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Pierre Saunders
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\switchcolumn
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\begin{flushright}
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L3 Math 2024-25
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Université Côte d'Azûr
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\end{flushright}
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\end{paracol}
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\begin{center}
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\section*{Introduction aux systèmes dynamiques}
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\end{center}
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\bigskip
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\subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique}
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% Emmanuel Militon
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Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) | n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.
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Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme
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$$\function{T}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
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$$\functiondef{x}{\lambda x(1 - x)}$$
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avec $0 < \lambda \le 4$.
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\subsubsection*{Premier pas ...}
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Pour l'instant, nous nous intéressont à la fonction suivante :
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$$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
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$$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
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Par induction sur le nombre d'application successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$
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En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
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$$x
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= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i}
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= 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_m \cdots$$
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avec $\forall i \in N^*, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne
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$$T_b(x)
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= b \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^i} \mod 1
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= d_1 \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^i} \mod 1
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= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^i} \mod 1
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= 0. d_2 d_3 d_4 \cdots d_{m + 1} \cdots$$
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Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudier les orbites de $T_b$ cela revient à étudier la périodicités des décimales $d_i$, hors, si une périodicité existe, le nombre $x$ est nécéssairement rationnel \ref{theorem:repeating_decimals}.
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\begin{theorem_sq}
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Le tuple $([0, 1], d)$ avec la fonction $d$ défini comme :
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$$\function{d}{[0, 1]^2}{\R_+}$$
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$$\functiondef{(x, y)}{\sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^i}}$$
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est un espace métrique.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Comme $[0, 1]$ est habité, il suffit de montrer que la fonction $d$ est nul pour la distance un élément et lui même, symétrique et respecte l'inégalité triangulaire. Comme cette fonction est basé sur la métrique $\norm{.}_1$, les preuves sont immédiates :
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\begin{itemize}
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\item{Nul avec un élément et lui même : $\forall x \in [0, 1], d(x, x)
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= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - x_i}}{b^i}
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= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{0}{b^i}
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= 0$}
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\item{Symétrie : $\forall (x, y) \in [0, 1]^2, d(x, y)
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= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^i}
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= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{y_i - x_i}}{b^i}
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= d(y, x)$}
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\item{Inégalité triangulaire : $\forall (x, y, z) \in [0, 1]^3, d(x, y)
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= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^i}
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\le \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i} + \abs{z_i - y_i}}{b^i}
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= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i}}{b^i} + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{z_i - y_i}}{b^i}
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= d(x, z) + d(z, y)$}
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\end{itemize}
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\end{proof}
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