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\langchapter{Logique}{Logic}
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\lang{La logique classique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des propositions (typiquement notées $p$ ou $q$) n'ayant pour valeur soit Vrai (noté \true), soit Faux (noté \false).}%
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{Classical logic consists of operations done on sole values : True $T$ and False $F$.}
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\langsection{Principle de tiers exclu}{Excluding middle} \label{definition:law_excluding_middle}
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$\true \equivalence \lnot \false$
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$\false \equivalence \lnot \true$
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$\lnot\lnot p \implies p$
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$p \lor \lnot p$
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\langsection{Relation Binaires}{Binary relations}
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\langsubsection{Réflexion}{Reflexivity} \label{definition:reflexivity}
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Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\forall a \in E$, $a \Rel a$.
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\langsubsection{Transitivité}{Transitivity} \label{definition:transitivity}
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Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $a \Rel b \land b \Rel c \equivalence a \Rel c$.
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\langsubsection{Associativité}{Associativity} \label{definition:associativity}
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Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $(a \Rel b) \Rel c \equivalence a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$.
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\langsubsection{Commutativité}{Commutativity} \label{definition:commutativity}
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Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $a \Rel b = b \Rel a$.
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\langsection{Opérateurs}{Operators}
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\langsubsection{NON $(\lnot)$}{NOT $(\lnot)$}
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$p \equivalence \lnot \lnot p$
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\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
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\begin{tabular}{|c|c|}
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$p$ & $\lnot p$ \\
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\hline
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\false & \true \\
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\hline
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\true & \false \\
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\hline
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\end{tabular}
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\langsubsection{ET $(\land)$}{AND $(\land)$}
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$p \land q \equivalence \lnot p \lor \lnot q$
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\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
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\begin{tabular}{|c|c||c|}
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\hline
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$p$ & $q$ & $p \land q$ \\
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\hline
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\false & \false & \false \\
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\hline
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\true & \false & \false \\
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\hline
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\false & \true & \false \\
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\hline
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\true & \true & \true \\
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\hline
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\end{tabular}
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\langsubsection{OU $(\lor)$}{OR $(\lor)$}
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$p \lor q \equivalence \lnot p \land \lnot q$
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\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
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\begin{tabular}{|c|c||c|}
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\hline
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$p$ & $q$ & $p \lor q$ \\
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\hline
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\false & \false & \false \\
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\hline
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\true & \false & \true \\
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\hline
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\false & \true & \true \\
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\hline
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\true & \true & \true \\
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\hline
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\end{tabular}
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\subsection{Implication $(\implies)$}
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\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
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\begin{tabular}{|c|c||c|}
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\hline
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$p$ & $q$ & $p \implies q$ \\
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\hline
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\false & \false & \true \\
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\hline
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\true & \false & \false \\
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\hline
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\false & \true & \true \\
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\hline
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\true & \true & \true \\
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\hline
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\end{tabular}
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\lang{Contraposée}{Contraposition} : $\lnot q \implies \lnot p$
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\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
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\begin{tabular}{|c|c||c|}
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\hline
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$p$ & $q$ & $p \implies q$ \\
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\hline
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\false & \false & \true \\
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\hline
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\true & \false & \false \\
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\hline
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\false & \true & \true \\
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\hline
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\true & \true & \true \\
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\hline
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\end{tabular}
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\langsubsection{Équivalence $(\equivalence)$}{Equivalence $(\equivalence)$}
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\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
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\begin{tabular}{|c|c||c|}
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\hline
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$p$ & $q$ & $p \equivalence q$ \\
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\false & \false & \true \\
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\hline
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\true & \false & \false \\
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\hline
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\false & \true & \false \\
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\hline
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\true & \true & \true \\
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\hline
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\end{tabular}
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\langsubsection{OU exclusif / XOR $(\oplus)$}{Exclusive OR / XOR $(\oplus)$}
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$p \oplus q \equivalence (p \lor q) \land \lnot (p \land q)$
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\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
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\begin{tabular}{|c|c||c|}
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\hline
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$p$ & $q$ & $p \oplus q$ \\
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\false & \false & \false \\
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\hline
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\true & \false & \true \\
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\hline
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\false & \true & \true \\
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\hline
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\true & \true & \false \\
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\hline
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\end{tabular}
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