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TeX
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\langchapter{Analyse Complexe}{Complex Analysis}
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L'analyse complexe vise à utiliser les outils d'analyse réels dans le corps des complexes comme les suites, dérivés, intégrales etc.
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\langsection{Définition du corps des complexes}{Definition of the complex field}
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Les nombres complexes sont soit définis comme un tuple de $\R^2$ avec un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ avec la fonction $f$ suivante :
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\begin{paracol}{2}
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$$\function{f}{\R^2}{\C}$$
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$$\functiondef{(a, b)}{a + ib}$$
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\switchcolumn
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$$\function{p}{\R_+ \cartesianProduct \R/2\pi}{\C}$$
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$$\functiondef{(r, \theta)}{r e^{i \theta}}$$
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\end{paracol}
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\begin{paracol}{2}
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On dit alors que la partie $a$ est la \textbf{partie réelle} et $b$ la \textbf{partie imaginaire} et cette représentation est la \textbf{forme rectangulaire} du nombre complexe, on peut également utiliser la représentation en \textbf{forme polaire} de la fonction $p$
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Selon le contexte, on peut écrire les nombres complexes sous leur forme canonique (typiquement notée $z$) ou dans sa forme aux parties réelle et imaginaire. Également, les nombres complexes peuvent être représentées dans un plan cartésien de base $(1, i)$.
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\switchcolumn
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\[\begin{tikzpicture}
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\begin{scope}[thick,font=\scriptsize]
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% (1, 2) point
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\path [fill, semitransparent] (0.8, 1.7) circle (0.05);
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\node [below right] at (0.8, 2) {$0.8 + 1.7i$};
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\draw [gray,thick] (0, 1.7) -- (0.8, 1.7);
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\draw [gray,thick] (0.8, 0) -- (0.8, 1.7);
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% (1.2 -sqrt{2}) point
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\path [fill, semitransparent] (1.2, -1.4) circle (0.05);
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\node [below right] at (1.2, -1.4) {$1.2 - 1.4i$};
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\draw [gray,thick] (0, 0) -- (1.2, -1.4);
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\draw [gray,thick,domain=0:-50] plot ({cos(\x) / 2.2}, {sin(\x) / 2.2});
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% (-1, -1) point
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\path [fill, semitransparent] (-1, -1) circle (0.05);
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\node [below left] at (-1, -1) {$-1 - i$};
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\draw [gray,thick] (0, -1) -- (-1, -1);
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\draw [gray,thick] (-1, 0) -- (-1, -1);
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% (-1.7 2.3) point
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\path [fill, semitransparent] (-1.2, 2.3) circle (0.05);
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\node [above left] at (-1.2, 2.3) {$-1.2 + 2.3i$};
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\draw [gray,thick] (0, 0) -- (-1.2, 2.3);
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\draw [gray,thick,domain=0:117] plot ({cos(\x) / 1.6}, {sin(\x) / 1.6});
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% Axes
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\draw [->] (-3, 0) -- (3, 0) node [above left] {$\Re(z)$};
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\draw [->] (0, -3) -- (0, 3) node [below right] {$\Im(z)$};
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% Axes label
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\foreach \n in {-2,-1,1,2}{%
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\draw (\n, -3pt) -- (\n, 3pt) node [above] {$\n$};
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\draw (-3pt, \n) -- (3pt, \n) node [right] {$\n i$};
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}
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}\]
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\end{paracol}
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Ces parties peuvent également être extraites avec les fonctions suivantes :
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\begin{paracol}{2}
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$$\function{\Re}{\C}{\C}$$
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$$\functiondef{(a, b)}{a}$$
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\switchcolumn
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$$\function{\Im}{\C}{\C}$$
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$$\functiondef{(a, b)}{b}$$
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\end{paracol}
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\begin{theorem_sq}
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$\C \isomorphic \R^2$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Posons la fonction $g$ suivante :
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$$\function{g}{\C}{\R^2}$$
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$$\functiondef{z}{(\Re(z), \Im(z))}$$
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On peut en conclure en utilisant la fonction $f$ précédente les propositions suivantes :
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$$f \composes g \composes \Identity_\C \equivalence \forall z \in \C, f(g(z)) = f((a, b)) = z$$
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$$g \composes f \composes \Identity_{\R \cartesianProduct \R} \equivalence \forall (a, b) \in \R^2, g(f((a, b))) = g(z) = (a, b)$$
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\end{proof}
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Nous pouvons ensuite définir les opérations $(+)$ et $(\cdot)$ prenant les propriétés du corps analogue des réels
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\begin{paracol}{2}
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$$\function{(+)}{\C^2}{\C}$$
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$$\functiondef{(a + ib, c + id)}{(a + c) + i(b + d)}$$
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\switchcolumn
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$$\function{(\cdot)}{C^2}{\C}$$
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$$\functiondef{(a + ib, c + id)}{(ac - bd) + i(ad + bc)}$$
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\end{paracol}
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\begin{theorem_sq}
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$(\C, +, \cdot)$ est un corps commutatif \ref{definition:commutative_field}.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(\C, +, \cdot)$, les propriétés sont directement héritées de $\R^2$.
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% TODO Add proof details
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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$\C$ est un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space} de dimension \ref{definition:vector_space_dimension} 1.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Les propriétés sont directement héritées de l'espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $\R^2$.
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% TODO Add proof details
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\end{proof}
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\langsection{Fonctions holomorphes}{Holomorphic functions}
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Avant de définir les fonctions holomorphes, il est nécessaire de faire un pas de côté en étudiant les formes $\C$-linéaires \ref{definition:linear_map}.
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\begin{theorem_sq}
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Les formes $\C$-linéaires sont de la forme
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$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$
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\end{theorem_sq}
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