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\columnratio{0.5}
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\begin{paracol}{2}
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Pierre Saunders
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\switchcolumn
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\begin{flushright}
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L3 Math 2024-25
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Université Côte d'Azûr
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\end{flushright}
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\end{paracol}
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\begin{center}
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\section*{Devoir Maison 2 : Algèbre multilinéaire}
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\subsection*{Thème : Dualité linéaire, Bases duales et antéduales}
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\end{center}
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\subsubsection*{Exercice 1.} Soit $E = \R_n[X]$ et soit $\Delta \in \L(E)$ l'endomorphisme défini par $\forall P \in E$,
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$$\Delta(P)(X) = P(X) - P(X - 1)$$
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On introduit la famille de polynômes ($P_0, \cdots, P_n$) définie par
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$$P_0 = 1 \text{ et } \forall k \in \discreteInterval{0, n - 1}, P_{k + 1}(X) = \frac{1}{(k + 1)!} \prod\limits^k_{i = 0}(X + i) = \frac{X(X + 1) \cdots (X + k)}{(k + 1)!}$$
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On note enfin $\phi_0 \in E^*$ la forme linéaire $\phi_0(P) = P(0)$ et pour tout $k \in \discreteInterval{1,n}, \phi_k(P) = {}^t(\Delta)^k(\phi_0)$.
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\begin{enumerate}
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\item{Montrer que pour tout $k \in \discreteInterval{1, n}, \Delta(P_k) = P_{k - 1}$.
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\begin{proof}
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$$\Delta(P_k) = P_k(X) - P_k(X - 1) = \frac{1}{(k + 1)!}\left[\prod\limits^k_{i = 0}(X + i) - \prod\limits^k_{i = 0}((X - 1) - i)\right] $$
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$$= \frac{1}{(k + 1)!}\left[(X + k) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i) - (X - 1) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]$$
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$$= \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]\left[(X + k) - (X + i)\right] = \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right](k + i) = P_{k - 1}$$
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\end{proof}
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}
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\item{En déduire que ($P_0, \cdots, P_n$) est une base $E$, dont ($\phi_0, \cdots, \phi_n$) est la base duale.
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\begin{proof}
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\end{proof}
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}
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\item{Si $P \in \R_n[X]$, exprimer les coordonnées dans la base ($P_0, \cdots, P_n$) d'un polynôme $Q \in \R_{n + 1}[X]$ tel que $\Delta(Q) = P$.
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}
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\item{Justifier que deux polynômes $Q_1, Q_2 \in \R_n[X]$ tels que $\Delta(Q_1) = \Delta(Q_2)$ différent d'une constante.
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}
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\bigskip
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{\setlength\parindent{-25pt}\par\textit{Application :}}
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\bigskip
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\item{Justifier que si $\Delta(Q) = P$, alors $P(1) + \cdots + P(n) = Q(n) - Q(0)$.
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}
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\item{On suppose $n \ge 3$. Exprimer les coordonnées des polynômes $X, X^2$ et $X^3$ dans la base ($P_0, \cdots, P_n$).
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}
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\item{En déduire des expressions simples en fonction de $n$ des sommes suivantes
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\begin{enumerate}
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\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k = 1 + 2 + \cdots + n$}
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\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^2 = 1 + 2^2 + \cdots + n^2$}
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\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^3 = 1 + 2^3 + \cdots + n^3$}
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\end{enumerate}
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}
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\end{enumerate}
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