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\langsection{Exercices}{Exercises}
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\begin{exercise_sq}[Feuille soutien 28/04/2021 : Exercice 1]
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On considère la série entière
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$$f(z) = z - \frac{z^3}{3 \cdot 2^3} + \frac{z^5}{5 \cdot 2^5} - \frac{z^7}{7 \cdot 2^7} + \cdots$$
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Quel est son rayon de convergence ? Montrer que $f'(z) = \frac{2}{z^2 + 4} + \frac{1}{2}$. % FIXME Wrong expected solution ?
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\end{exercise_sq}
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\begin{proof}
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Réécrivons la série entière $f(z)$ sous la forme
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$$f(z) = z + \sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n + 1}}{(2n + 1)2^{2n + 1}}$$
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Par la règle d'Alembert, le rayon de convergence, s'il existe, est égal à :
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$$R = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{a_n}{a_{n + 1}}}
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= \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{\frac{(-1)^{2n + 1}}{(2n + 1)2^{2n + 1}}}{\frac{(-1)^{2n + 2}}{(2n + 2)2^{2n + 2}}}}
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= \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{2n + 1}{4n + 4}}
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= \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{2 + \frac{1}{n}}{4 + \frac{4}{n}}}
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= \frac{1}{2}$$
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La série entière $f(z)$ étant convergente si $\abs{z} < \frac{1}{2}$ et étant donné que la dérivée d'une somme est la somme des dérivés, on peut donc en conclure l'égalité suivante :
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$$f'(z) = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{(2n + 1)z^{2n}}{(2n + 1)2^{2n + 1}}
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= 1 + \frac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{2^{2n}}
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= 1 + \frac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^\infty \left( \frac{-z^{2}}{4} \right)^n$$
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On reconnait une série géométrique convergente si $\abs{\frac{-z^{2}}{4}} < 1 \equivalence \abs{z^{2}} < 4 \equivalence \abs{z} < 2$, la série est donc convergente ce qui permet de conclure.
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$$f'(z) = 1 + \frac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^\infty \left( \frac{-z^{2}}{4} \right)^n
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= 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{-z^2}{4}}
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= \frac{2}{z^2 + 4} + 1$$
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\end{proof}
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\begin{exercise_sq}[Feuille soutien 28/04/2021 : Exercice 4]
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Calcule l'intégrale :
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$$\int\limits_0^{2\pi}\frac{dt}{2 + \sin(t)}$$
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\end{exercise_sq}
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\begin{proof}
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Sachant que $\forall x \in \R, \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$, faisons la substitution $z = e^{ix}$
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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