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\langchapter{Topologie}{Topology}
%TODO Complete chapter

La topologie traite de l'étude des applications continues.

\langsection{Espaces topologique}{Topological spaces}

\begin{definition_sq} \label {definition:topological_space}
	\lang{Un espace topologique est un ensemble $E$ avec une topologie $\tau_E$ noté comme une paire $(E, \tau_E)$ vérifiant les axiomes suivants}%
	{A topology space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted as a pair $(E,\tau_E)$ satisfying the following axioms} :

	\begin{itemize}
		\item{$\{\emptyset, E\} \subseteq \tau_E$}
		\item{Every union of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Union\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^* \lor \infty} \in \tau_E$}
		\item{Every finite intersection of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Intersection\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^*} \in \tau_E$}
	\end{itemize}
\end{definition_sq}

\langsection{Espaces métrique}{Metric spaces}

\begin{definition_sq} \label{definition:metric_space}
	\lang{Un espace métrique est un ensemble $E$ avec une fonction de distance $\function{d}{E^2}{\R_+}$ notée comme une paire $(E, d)$ vérifiant les axiomes suivants}%
		{A metric space is a set $E$ with a distance function $\function{d}{E^2}{\R_+}$ noted as a pair $(E, d)$ satisfying the following axioms} :
	\begin{itemize}
		\item{\lang{Non-dégénérescence}{Non-degenerative} : $\forall x,y \in E, d(x,y) = 0 \equivalence x = y$}
		\item{\lang{Symétrie}{Symetry} : $\forall x,y \in E, d(x,y) = d(y,x)$}
		\item{\lang{Inégalité triangulaire}{Triangular inegality} : $\forall x,y,z \in E, d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$}
	\end{itemize}
\end{definition_sq}

\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension finie}{Vector spaces in finite dimensions}

\langsubsubsection{Normes}{Norms}

\begin{definition_sq}
	Une norme sur $E$ est une application continue notée $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui vérifie les axiomes suivants :

	\begin{itemize}
		\item{Non-dégénérescence : $\norm{x} = 0 \equivalence x = 0$}
		\item{Homothétie positive : $\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
		\item{Inégalité triangulaire : $\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
	\end{itemize}
\end{definition_sq}

On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}.

\langsubsubsubsection{Exemples}{Examples}

Soit $n \in \N^*, E = \R^n$

\begin{itemize}
	\item{$\norm{x}_1 = \sum\limits_{i = 1}^n \abs{x_i}$}
	\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^n x^2_i}$}
	\item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_1}, \dots, \abs{x_n}\}$}
	\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 \abs{P(x)}dx$}
	\item{$m \in \N^*, E = \mathcal{L}(R^n, R^m), \norm{\phi} = \max\{\norm{\phi(e_i)}_\infty, i \subseteq N^*\}$} ($e_i :=$ base canonique de $\R^n$)
	\item{Avec $(E,\norm{.}_E)$ et $(F,\norm{.}_F)$, on définit la \textbf{norme produit} $\norm{E \times F}$ sur $E \times F$ par $u \in E, v \in F, \norm{(u,v)}_{E \times F} = \norm{u}_E + \norm{v}_F$}
\end{itemize}

\subsubsection{Équivalence des normes}

Deux normes $\norm{.}_1$ et $\norm{.}_2$ sont dites \textbf{équivalentes} si $\exists \alpha, \beta \in \R^*_+ \suchas \forall x \in E, \alpha\norm{x}_1 \le \norm{x}_2 \le \beta\norm{x}_1$

\smallskip

Note : On remarque que la relation \textit{être équivalentes} est bien une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes sur $E$.

\langsubsection{Boules}{Balls}

Soit $x \in E$ et $r \in \R^*_+$

\subsubsection{Ouverte}

La \textbf{boule ouverte} de centre $x$ et de rayon $r$ est définie par $B(x,r) = \{ y \in E, \norm{x - y} < r\}$.

\smallskip

Note : la seule différence avec une boule fermée est la non-inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.

\subsubsection{Fermée}

La \textbf{boule fermée} de centre $x$ et de rayon $r$ est définie par $B(x,r) = \{ y \in E, \norm{x - y} \le r\}$.

\smallskip

Note : la seule différence avec une boule fermée est l'inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.

\subsubsection{Voisinage}

On appelle \textbf{voisinage} de $x$ tout ensemble $U \in E$ contenant $B(x,\epsilon)$ pour un certain $\epsilon \in \R^*_+$

\langsection{Limite}{Limit}

Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou à une application.

\subsection{Suite}

Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$.

On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim\limits{x_n} = l$ ou $x_n \to l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$

\subsection{Application}

Soit $(E, \norm{.}_E)$, $(F, \norm{.}_F)$, $A \subset E$, $\function{f}{A}{F}$, $t,x \in A$ et $l \in F$.

On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $\lim\limits_{t \to x}f(t) = l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists \delta \in \R_+^*, \suchas t \in B_E(x, \delta) \implies f(t) \in B_F(l, \epsilon)$

\langsection{Transitivité}{Transitivity}

Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}

\begin{definition_sq}
	Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
\end{definition_sq}

\langsection{Adhérence}{Closure}

\begin{definition_sq}
	Un point $x$ d'un espace métrique $(E,d)$ \textbf{adhère} à une partie de $A$ de $E$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A$ i.e.
	$$A \subseteq E, x \in E, \forall \epsilon > 0, \B(x, \epsilon) \intersection A \ne \emptyset$$
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq}
	L'adhérence $\closure{A}$ de $A$ est l'ensemble des points adhérent de $A$.
\end{definition_sq}

\begin{prop_sq} \label{proposition:closure_is_smallest_closed}
	Soit $A$ une partie de $(E, d)$ un espace métrique. Alors l'adhérence $\closure{A}$ de $A$ est la plus petite (au sens de l'inclusion) partie fermée de $E$ contenant $A$. En particulier si $A$ est fermée alors $\closure{A} = A$.
\end{prop_sq}

\begin{proof}
	% TODO Complete proof
\end{proof}

\begin{theorem_sq} \label{theorem:subset_implies_closure}
	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
	$$A \subseteq B \implies \closure{A} \subseteq \closure{B}$$
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques et $A \subseteq B$.
	Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$, mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$.
\end{proof}

\begin{theorem_sq}
	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
	$$\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$$
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$.
\end{proof}

\begin{theorem_sq}
	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
	$$\closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$$
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.

	\subseteqpart

	Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.

	\Lsubseteqpart

	Sachant que $A \subseteq \closure{A} \land B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} en faisait l'union des deux cela donne $A \union B \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$, or $\closure{A} \union \closure{B} \equivalence E\setminus\closure{A} \intersection E\setminus\closure{B}$, il s'agit d'une intersection finie d'ouverts donc $\closure{A} \union \closure{B}$ est fermé donc par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.

	$(\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}) \land (\closure{A \union B} \supseteq \closure{A} \union \closure{B}) \implies \closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$
\end{proof}

\langsection{Complétude}{Completeness}

\begin{definition_sq}
	Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergentes \ref{definition:convergence_sequence}.
\end{definition_sq}

\langsubsection{Théorème des points fixes (Théorème de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)}

\begin{proof}
	Soit $(E, d)$ un espace métrique \ref{definition:metric_space} et $\phi$ un endomorphisme \ref{definition:endomorphism} contractant i.e.
	$$\function{\phi}{E}{E}$$
	$$\exists k \in [0, 1[ \subset \R_+, \forall x,y \in E, d(\phi(x),\phi(y)) \le k \cdot d(x,y)$$

	Soit $x_0 \in E$ et définissons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$.

	Par induction sur $n$ montrons la proposition $(h_n)$ définie comme $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$

	Comme cas initial prenons $n = 1$.

	Par définition de la suite \suite{x}.

	$$d(x_2, x_1) = d(\phi(x_1), \phi(x_0))$$

	Par définition de la fonction $\phi$.

	$$\implies d(\phi(x_1), \phi(x_0)) \le k \cdot d(x_1, x_0)$$

	Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothèse d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'hérédité $n + 1$
	Par définition de la suite \suite{x}.

	$$d(x_{n + 2}, x_{n + 1}) = d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n))$$

	Par définition de la fonction $\phi$.

	$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k \cdot d(x_{n + 1}, x_n)$$

	Par l'hypothèse d'induction.

	$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k^n \cdot k \cdot d(x_1, x_0) = k^{n + 1} \cdot d(x_1, x_0)$$

	Ce qui conclut l'induction et prouve $(h_n)$. Maintenant montrons que \suite{x} est une suite de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence}.

	Soit $m,n \in \N$ tel que $m > n$.

	Par inégalité triangulaire

	$$d(x_m, x_n) \le \sum\limits_{i = 0}^{m - n - 1} d(x_i, x_{i - 1})$$

	Par ($h_n$)

	$$\implies \sum\limits_{i = 1}^{m - n - 1} d(x_i, x_{i - 1}) \le \sum\limits_{i = 0}^{m - n - 1} k^{n+i}d(x_1, x_0) \le k^n \cdot d(x_1, x_0) \sum\limits_{i = 0}^{+\infty}k^i$$

	On reconnaît une série géométrique

	$$\implies k^n \cdot d(x_1, x_0) \sum\limits_{i = 0}^{+\infty}k^i = k^n \cdot d(x_1, x_0) \left( \frac{1}{1 - k} \right)$$

	Posons $\epsilon \in \R_+^*$, comme $\abs{k} < 1 \implies \exists N \in \N, k^{N+m} \le \frac{\epsilon (1 - k)}{d(x_1, x_0)}$.

	$$\implies d(x_m, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0) \left( \frac{1}{1 - k} \right) \le d(x_1, x_0) \frac{1}{1 - k} \left( \frac{\epsilon (1 - k)}{d(x_1, x_0)} \right) = \epsilon$$

	La suite \suite{x} est donc de Cauchy.
\end{proof}

\langsection{Séparation}{Separation}

\begin{definition_sq} \label{definition:separated_space}
	Un espace topologique est dit \textbf{séparé} si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$.
\end{definition_sq}

\begin{theorem_sq}
	Tous les espaces métriques sont séparés.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $(E, d)$ un espace métrique non vide et $x,y \in E \land x \ne y$ $\implies d(x, y) \ne 0$.

	Soit $r := d(x, y)$ ainsi que les boules ouvertes $B_x := \B(x, \frac{r}{2})$ et $B_y := \B(y, \frac{r}{2})$, par construction de $B_x$ et $B_y$ i.e. $\frac{r}{2} < r \implies y \notin B_x \land x \notin B_y$.

	Soit $z \in B_x \intersection B_y \equivalence [ d(x, z) < \frac{r}{2} \land d(y, z) < \frac{r}{2} ] \equivalence r > r$

	Cette proposition étant toujours fausse $B_x \intersection B_y = \emptyset$.
\end{proof}

\begin{theorem_sq}
	Tous les singletons d'un espace métrique sont fermés.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $(E, d)$ un espace métrique non vide et $x,y \in E \land x \ne y$

	$\implies d(x, y) \ne 0$. Soit $r := d(x, y)$ ainsi que $B_x := \B(x, \frac{r}{2})$ et $B_y := \B(y, \frac{r}{2})$ par construction de $B_x$ et $B_y$ i.e. $\frac{r}{2} < r \implies y \notin B_x \land x \notin B_y$.

	$z \in B_x \intersection B_y \equivalence [ d(x, z) < \frac{r}{2} \land d(y, z) < \frac{r}{2} ] \equivalence r > r$

	Cette proposition étant toujours fausse $B_x \intersection B_y = \emptyset$, les singletons de $E$ sont donc séparés.
\end{proof}

\langsection{Compacité}{Compactness}

\begin{definition_sq}
	Un espace topologique $E$ est \textbf{compact} si $E$ est séparé \ref{definition:separated_space} et si tout recouvrement de $E$ par des ouverts contient un recouvrement fini de $E$ i.e. si $E = \Union\limits_{i \in I} U_i$ avec les $U_i$ ouverts, alors il existe une partie finie $V := \{i_1, i_2, \cdots, i_n\}$ de $I$ tel que $E = \Union\limits_{v \in V} v$
\end{definition_sq}

\begin{theorem_sq}
	Soit $K,L$ de $\R^N$ deux compacts disjoints, la distance $d(K, L) = \inf_{(x, y) \in K \cartesianProduct L}d(x, y)$ est strictement positive. Également, il existe deux ouverts $U$ et $V$ disjoints tels que $K \subset U$ et $L \subset V$.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $K$ et $L$ deux compacts disjoints ainsi que la distance défini tel que $d(K, L) := \inf_{(x, y) \in K \cartesianProduct L}d(x, y)$.

	Considérons la fonction $\function{f}{K \cartesianProduct L}{\R_+} \functiondef{(x, y)}{d(x, y)}$. Par la continuité de la métrique, $f$ est continue, ainsi que $d(K, L) = \inf_{K \cartesianProduct L} f > 0$, car si $x \in K$ et $y \in L$, $d(x, y) = 0 \implies x = y$ hors $x \in K \intersection L = \emptyset$ (parce que disjoints). De plus, comme $f$ est une fonction continue dans un ensemble compact, il atteint sa borne inférieure dans son domaine i.e. $f > 0 \implies \inf f > 0 \implies d(K, L) > 0$. Notons cette distance $R$.

	Comme $R > 0$, nous pouvons construire pour chaque élément de $K$ et $L$ une boule ouverte de centre $x \in K$ et de rayon $\frac{R}{2}$ (et respectivement pour $L$). Cela permet de définir $U := \Union\limits_{x \in K} \B(x, \frac{R}{2})$ et $V := \Union\limits_{y \in L} \B(y, \frac{R}{2})$. Par construction, $K \subset U$ et $L \subset V$.

	Finalement, $U$ et $V$ sont des réunions d'ouverts donc $U$ et $V$ sont des ouverts. De plus $U \intersection V$ est habité $\equivalence d(K, L) < \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R$. Cette proposition étant toujours fausse $U \intersection V = \emptyset$ ce qui montre que $U$ et $V$ sont disjoints.
\end{proof}


\langsection{Connexité}{Connectness}

\begin{definition_sq}
	Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continue $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$.
\end{definition_sq}

\begin{definition_sq}
	Un espace topologique $E$ est dit \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons.
\end{definition_sq}

\begin{theorem_sq}
	$\Z$ est totalement discontinu.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Posons $\left (\Union\limits_{n \in \Z} \left]n - 1/2, n + 1/2 \right[\right) \intersection \Z = \Z$.
	Chacun de ces intervalles non vides de $\R$ est ouvert et deux à deux disjoints.
	Cela implique qu'aucun élément de $\Z$ ne peut être dans la même composante connexe et donc $\Z$ est totalement discontinu.
\end{proof}

\begin{theorem_sq}
	$\Q$ est totalement discontinu.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	Soit $(a,b) \in \Q^2$ tel que $a < b$.
	Comme les irrationnels sont denses dans $\R$, il existe $x \in \R \setminus \Q$ tel que $a < x < b$.
	De cela, nous pouvons construire les intervalles de $\R$ ouverts $L := \left]-\infty, x \right[$ et $R := \left]x, +\infty \right[$.
	Comme $(L \union R) \intersection \Q = \Q$.
	Cela montre qu'aucun rationnel ne peut être dans la même composante connexe et donc $\Q$ est totalement discontinu.
\end{proof}

\begin{theorem_sq}
	L'ensemble de Cantor est totalement discontinu.
\end{theorem_sq}

\begin{proof}
	L'ensemble de Cantor $C$ peut être défini à l'aide de la suite \suite{C} tel que $C_0 := [0, 1] \subset \R$ et $C_n := \Union\limits_{k = 0}^{3^{n - 1}} \left[ \frac{2k}{3^n}, \frac{2k + 1}{3^n} \right]$ ainsi, nous pouvons définir $C := \Intersection\limits_{n = 0}^\infty C_n$.
	Remarquons que $C \subset [0, 1] \subset \R$ et qu'à chaque itération sur $n$ nous divisons l'intervalle $C_n$ en trois intervalles disjoints de longueur $3^{-n}$ en retirant l'intervalle du milieu.
	Cela implique que $C_n$ devient discontinu à l'itération $C_{n + 1}$, par induction sur $n$, aucun intervalle de $C$ n'est connecté, sauf que les bornes, elles, ne sont jamais retirées, donc $C$ est habité et il s'agit de ces seules composantes connexes à chaque itération.
	On en conclut que l'ensemble de Cantor est totalement discontinu.
\end{proof}