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\langchapter{Équations différentielles}{Differential equations}
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Une équation différentielle est une équation dont les inconnus sont des fonctions par rapport à ces dérivés. Nous considérons dans ce chapitre $n \in \N^*, \K = \R$ ou $\C$, $\Omega$ un ouvert de $\R \cartesianProduct \K^n$, $\function{f}{\Omega}{\K^n}$ et l'équation différentielle
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$$(t,Y) \in \Omega, t \in \R, Y \in \K^n, Y^{(1)} = f(t,Y)$$
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La variable $t$ est appelée la \textit{variable de temps} et la variable $Y$ la \textit{variable d'état} puisqu'elle décrit les différents états du système.
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\begin{definition_sq} \label{definition:differential_equations}
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On appelle \textbf{équation différentielle} $(\mathcal{E}_n)$ d'ordre $n \in \N^*$ d'un corps $\K^N$ de dimension $N \in \N^*$ définie sur $I$ un ouvert de $\R \cartesianProduct (\K^N)^n$ et $\function{f}{I}{\K^N}$ tel que
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$$y^{(n)} = f(t, y, y', \cdots, y^{(n - 1)})$$
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Pour $(t, y, y', \cdots, y^{(n - 1)}) \in I, t \in \R, y \in \K^N$.
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La variable $t$ est appelée \textbf{variable temporelle} et la variable $y$ \textbf{variable d'état}.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:differential_equations_solution}
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On appelle \textbf{solution d'équation différentielle} $(\mathcal{E}_n)$ un couple $(J, y)$ où $J \subseteq I$ est un intervalle de $\R$ et $y$ une fonction $n$ fois dérivable $\function{y}{J}{\K^N}$ telle que :
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$$\forall t \in J, (t, y(t), y'(t), \cdots, y^{(n - 1)}(t)) \in I$$
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$$\forall t \in J, y^{(n)}(t) = f(t, y(t), y'(t), \cdots, y^{(n - 1)}(t))$$
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:chauchy_problem}
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On appelle \textbf{problème de Cauchy} un couple $(t_0, y_0) \in I$ des données initiales consistant à trouver la (ou les) solution(s) $y$ de $(\mathcal{E})$ sur un intervalle $I$ telle(s) que $t_0 \in I$ et $y(t_0) = y_0$. On dit que la condition $y(t_0) = y_0$ est la \textbf{condition initiale} ou \textbf{condition de Cauchy}.
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\end{definition_sq}
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\langsection{Cas linéaire}{Linear case}
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\begin{definition_sq} \label{definition:linear_differential_equation}
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On dit que l'équation différentielle \ref{definition:differential_equations} $y' = f(t, y)$ est une \textbf{équation différentielle linéaire} si $f(t, y) = A(t)y + B(t)$ où $A$ et $B$ sont des fonctions du temps à valeurs respectives dans $M_N(\K)$ et $K^N$. Les autres formes d'équations différentielles sont qualifiées de non linéaires.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:linear_homogenous_differential_equation}
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Lorsque l'équation différentielle linéaire \ref{definition:linear_differential_equation} $y' = A(t)y + B(t)$ avec $B = 0$ on parle \textbf{d'équation différentielle linéaire homogène} (ou sans second membre). Si $B$ est non identiquement nulle, on parle d'équation différentielle linéaire avec second membre.
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\end{definition_sq}
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