contents/algebra.tex : Added ring definition and groups monomorphism, isomorphism proofs
This commit is contained in:
saundersp
parent
e78d54c45f
commit
00d34bb0eb
@ -33,15 +33,29 @@
|
||||
\langsubsection{Groupe}{Group}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:group}
|
||||
Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_E$.
|
||||
Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_G$.
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
L'élément inverse de tout élément d'un groupe $(G, \star)$ est unique.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $x \in G$ avec $a, b$ deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = 0_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star 0_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group}
|
||||
Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated sub-group}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup}
|
||||
Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $<x> := \{ x^k \mid k \in \Z \} \subseteq G$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism}
|
||||
@ -51,7 +65,7 @@
|
||||
|
||||
$$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$
|
||||
|
||||
Similairement, le diagramme suivant commute :
|
||||
Similairement, un morphisme de groupe est un morphisme tel que le diagramme suivant commute :
|
||||
|
||||
\[\begin{tikzcd}
|
||||
X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\
|
||||
@ -59,8 +73,22 @@
|
||||
\end{tikzcd}\]
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_monomor_imp_ab}
|
||||
Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un monomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:monomorphism}.
|
||||
|
||||
$$(H, +) \in \Ab \implies (G, \star) \in \Ab$$
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un monomorphisme \ref{definition:monomorphism}.
|
||||
|
||||
$f$ est un monomorphisme $\implies \forall (x, y) \in G^2 \land x \neq y, \exists! (a, b) \in H^2 \land f(a) = x \land f(b) = y$
|
||||
|
||||
$\implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = y \star x$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_epimor_imp_ab}
|
||||
Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
|
||||
|
||||
$$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
@ -70,23 +98,56 @@
|
||||
|
||||
$f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$
|
||||
|
||||
$(G, +) \in Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
|
||||
$(G, +) \in \Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
|
||||
\begin{theorem_sq}
|
||||
Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un isomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:isomorphism}.
|
||||
|
||||
Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesianProduct)$ notée $(F, +, \cartesianProduct)$.
|
||||
$$(G, +) \in \Ab \equivalence (H, \star) \in \Ab$$
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $0_E$}
|
||||
\item{$(F\backslash\{0_E\}, \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un isomorphisme \ref{definition:isomorphism}.
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field} \label{definition:commutative_field}
|
||||
\impliespart
|
||||
|
||||
Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
|
||||
\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
|
||||
%TODO Complete subsection
|
||||
$(G, +) \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un épimorphisme $\implies (H, \star) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_epimor_imp_ab})
|
||||
|
||||
\Limpliespart
|
||||
|
||||
$(H, \star \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un monomorphisme $\implies (G, +) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_monomor_imp_ab})
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\langsubsection{Corps}{Field}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:field}
|
||||
Un corps $(F, +, \star)$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\star)$.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $0_E$}
|
||||
\item{$(F\backslash\{0_E\}, \star)$ est un groupe \ref{definition:group}}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:commutative_field}
|
||||
Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la seconde loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
\langsubsection{Anneau}{Ring}
|
||||
|
||||
Source : \citeannexes{wikipedia_ring}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq} \label{definition:ring}
|
||||
Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire
|
||||
|
||||
$\forall (a, b, c) \in R^3$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$}
|
||||
\item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\section{Matrices}
|
||||
%TODO Complete section
|
||||
|
||||
@ -385,3 +385,7 @@
|
||||
title = {Topological transitivity - Scholarpedia},
|
||||
url = {http://www.scholarpedia.org/article/Topological\_transitivity}
|
||||
}
|
||||
@online{wikipedia_ring,
|
||||
title = {Ring (mathematics)},
|
||||
url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Ring\_(mathematics)}
|
||||
}
|
||||
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user