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contents/algebra.tex : Added ring definition and groups monomorphism, isomorphism proofs

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2025-02-12 22:00:01 +01:00
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contents/algebra.tex
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@@ -33,15 +33,29 @@
\langsubsection{Groupe}{Group}
\begin{definition_sq} \label{definition:group}
Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_E$.
Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_G$.
\end{definition_sq}
\begin{theorem_sq}
L'élément inverse de tout élément d'un groupe $(G, \star)$ est unique.
\end{theorem_sq}
\begin{proof}
Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $x \in G$ avec $a, b$ deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = 0_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star 0_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$.
\end{proof}
\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group}
\begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group}
Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
\end{definition_sq}
\langsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated sub-group}
\begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup}
Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $<x> := \{ x^k \mid k \in \Z \} \subseteq G$
\end{definition_sq}
\langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism}
\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism}
@@ -51,7 +65,7 @@
$$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$
Similairement, le diagramme suivant commute :
Similairement, un morphisme de groupe est un morphisme tel que le diagramme suivant commute :
\[\begin{tikzcd}
X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\
@@ -59,8 +73,22 @@
\end{tikzcd}\]
\end{definition_sq}
\begin{theorem_sq}
Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_monomor_imp_ab}
Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un monomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:monomorphism}.
$$(H, +) \in \Ab \implies (G, \star) \in \Ab$$
\end{theorem_sq}
\begin{proof}
Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un monomorphisme \ref{definition:monomorphism}.
$f$ est un monomorphisme $\implies \forall (x, y) \in G^2 \land x \neq y, \exists! (a, b) \in H^2 \land f(a) = x \land f(b) = y$
$\implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = y \star x$
\end{proof}
\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_epimor_imp_ab}
Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
$$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$
\end{theorem_sq}
@@ -70,23 +98,56 @@
$f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$
$(G, +) \in Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
$(G, +) \in \Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
\end{proof}
\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
\begin{theorem_sq}
Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un isomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:isomorphism}.
Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesianProduct)$ notée $(F, +, \cartesianProduct)$.
$$(G, +) \in \Ab \equivalence (H, \star) \in \Ab$$
\end{theorem_sq}
\begin{itemize}
\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $0_E$}
\item{$(F\backslash\{0_E\}, \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}}
\end{itemize}
\begin{proof}
Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un isomorphisme \ref{definition:isomorphism}.
\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field} \label{definition:commutative_field}
\impliespart
Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
%TODO Complete subsection
$(G, +) \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un épimorphisme $\implies (H, \star) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_epimor_imp_ab})
\Limpliespart
$(H, \star \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un monomorphisme $\implies (G, +) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_monomor_imp_ab})
\end{proof}
\langsubsection{Corps}{Field}
\begin{definition_sq} \label{definition:field}
Un corps $(F, +, \star)$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\star)$.
\begin{itemize}
\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $0_E$}
\item{$(F\backslash\{0_E\}, \star)$ est un groupe \ref{definition:group}}
\end{itemize}
\end{definition_sq}
\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field}
\begin{definition_sq} \label{definition:commutative_field}
Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la seconde loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
\end{definition_sq}
\langsubsection{Anneau}{Ring}
Source : \citeannexes{wikipedia_ring}
\begin{definition_sq} \label{definition:ring}
Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire
$\forall (a, b, c) \in R^3$
\begin{itemize}
\item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$}
\item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$}
\end{itemize}
\end{definition_sq}
\section{Matrices}
%TODO Complete section