contents/algebra.tex : Added ring definition and groups monomorphism, isomorphism proofs

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 \langsubsection{Groupe}{Group}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:group}
-	Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_E$.
+	Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_G$.
 \end{definition_sq}
 
+\begin{theorem_sq}
+	L'élément inverse de tout élément d'un groupe $(G, \star)$ est unique.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $x \in G$ avec $a, b$ deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = 0_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star 0_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$.
+\end{proof}
+
 \langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group}
 	Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
 \end{definition_sq}
 
+\langsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated sub-group}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup}
+	Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $<x> := \{ x^k \mid k \in \Z \} \subseteq G$
+\end{definition_sq}
+
 \langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism}
@@ -51,7 +65,7 @@
 
 	$$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$
 
-	Similairement, le diagramme suivant commute :
+	Similairement, un morphisme de groupe est un morphisme tel que le diagramme suivant commute :
 
 	\[\begin{tikzcd}
 		X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\
@@ -59,8 +73,22 @@
 	\end{tikzcd}\]
 \end{definition_sq}
 
-\begin{theorem_sq}
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_monomor_imp_ab}
-	Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un monomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:monomorphism}.
+
+	$$(H, +) \in \Ab \implies (G, \star) \in \Ab$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un monomorphisme \ref{definition:monomorphism}.
+
+	$f$ est un monomorphisme $\implies \forall (x, y) \in G^2 \land x \neq y, \exists! (a, b) \in H^2 \land f(a) = x \land f(b) = y$
+
+	$\implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = y \star x$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_epimor_imp_ab}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
 
 	$$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$
 \end{theorem_sq}
@@ -70,23 +98,56 @@
 
 	$f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$
 
-	$(G, +) \in Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
+	$(G, +) \in \Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
 \end{proof}
 
-\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un isomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:isomorphism}.
 
-Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesianProduct)$ notée $(F, +, \cartesianProduct)$.
+	$$(G, +) \in \Ab \equivalence (H, \star) \in \Ab$$
+\end{theorem_sq}
 
-\begin{itemize}
+\begin{proof}
-	\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $0_E$}
+	Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un isomorphisme \ref{definition:isomorphism}.
-	\item{$(F\backslash\{0_E\}, \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}}
-\end{itemize}
 
-\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field} \label{definition:commutative_field}
+	\impliespart
 
-Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
+	$(G, +) \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un épimorphisme $\implies (H, \star) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_epimor_imp_ab})
-\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
+
-%TODO Complete subsection
+	\Limpliespart
+
+	$(H, \star \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un monomorphisme $\implies (G, +) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_monomor_imp_ab})
+\end{proof}
+
+\langsubsection{Corps}{Field}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:field}
+	Un corps $(F, +, \star)$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\star)$.
+
+	\begin{itemize}
+		\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $0_E$}
+		\item{$(F\backslash\{0_E\}, \star)$ est un groupe \ref{definition:group}}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:commutative_field}
+	Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la seconde loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
+\end{definition_sq}
+\langsubsection{Anneau}{Ring}
+
+Source : \citeannexes{wikipedia_ring}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:ring}
+	Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire
+
+	$\forall (a, b, c) \in R^3$
+	\begin{itemize}
+		\item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$}
+		\item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
 
 \section{Matrices}
 %TODO Complete section

references/annexes.bib

@@ -385,3 +385,7 @@
   title = {Topological transitivity - Scholarpedia},
   url   = {http://www.scholarpedia.org/article/Topological\_transitivity}
 }
+@online{wikipedia_ring,
+  title = {Ring (mathematics)},
+  url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Ring\_(mathematics)}
+}