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contents/category_theory.tex
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@ -1,7 +1,7 @@
\langchapter{Théorie des Catégories}{Category theory} \langchapter{Théorie des Catégories}{Category theory}
%TODO Complete chapter %TODO Complete chapter
\section{Morphismes} \langsection{Morphismes}{Morphisms}
%TODO Complete section %TODO Complete section
\section{Functors} \section{Functors}

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contents/number_theory.tex
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@ -33,16 +33,15 @@ $2 := \{\{\emptyset\}\}$
$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$ $\N := \{0,1,2,3,\dots\}$
Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0.
\subsection{Relations binaries} \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
\subsection{Opérateurs} \langsubsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
\subsection{Dénombrabilité} \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
%\subsection{Countability}
\begin{definition_sq} \label{definition:countability} \begin{definition_sq} \label{definition:countability}
Un ensemble $E$ est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une application injective de $E$ dans $\N$. Un ensemble $E$ est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une application injective de $E$ dans $\N$.
@ -56,7 +55,7 @@ L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible.
De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie. De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie.
\subsubsection{Démonstration} \langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
@ -99,13 +98,13 @@ Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N
$\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$ $\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$
\subsection{Relations binaries} \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
\subsection{Opérateurs} \langsubsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
\subsection{Dénombrabilité} \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas. De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas.
@ -113,7 +112,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la t
L'ensemble $\Z$ est dénombrable. L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
\subsubsection{Démonstration} \langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
\begin{center} \begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png} \includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
@ -132,12 +131,12 @@ $p \in \Z, q \in \N, \frac{p}{q}$
$PGCD(p,q) := 1$ $PGCD(p,q) := 1$
\subsection{Relations binaries} \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$ $\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
\subsection{Opérateurs} \langsubsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$ $\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$
@ -146,7 +145,7 @@ $\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$
$\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$ $\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
\subsection{Dénombrabilité} \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas. De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas.
@ -154,7 +153,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombra
L'ensemble $\Q$ est dénombrable. L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
\subsubsection{Démonstration} \langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
\begin{center} \begin{center}
\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png} \includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
@ -176,7 +175,7 @@ $\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$
%\citeannexes{wikipedia_cayley_dickson} %\citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
\citeannexes{project_vae} \citeannexes{project_vae}
\subsection{Coupes de Dedekind} \langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
\langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers} \langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
@ -202,12 +201,12 @@ $i^2 = -1$
\hline \hline
\end{tabular} \end{tabular}
\subsection{Relations binaries} \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C^2, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$ $\forall ((a,b), (c,d)) \in \C^2, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$
\subsection{Opérateurs} \langsubsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
Il est impossible d'avoir une relation d'ordre dans le corps des complexes mais on peux construire une relation lexicographique. Il est impossible d'avoir une relation d'ordre dans le corps des complexes mais on peux construire une relation lexicographique.
@ -317,18 +316,21 @@ Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujour
Il existe une infinité de nombres premiers. Il existe une infinité de nombres premiers.
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
\langsubsubsection{Démonstration}{Demonstration} \langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
Par preveue par contradiction, supposons qu'il existe un nombre fini de nombre premiers. \lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
$\Pn = \{p | p \in \N^* \land p \text{ est premier}\} = p_0, p_1, \dots p_{n-1}, p_n$ $\Pn = \{p | p \in \N^* \land p \text{ est premier}\} = p_0, p_1, \dots p_{n-1}, p_n$
$\omega = (\prod_{p\in \Pn} p) + 1$ $\omega = (\prod_{p\in \Pn} p) + 1$
$\forall p \in \Pn, \omega \div p$ $\forall p \in \Pn, \lnot(\omega \div p)$
$\omega \notin \Pn \land \omega$ est premier $\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn$
$\rightarrow\leftarrow$ $\rightarrow\leftarrow$
$\implies$ Il existe une infinité de nombre premiers. $\implies |P| = \infty$
Il existe une infinité de nombre premiers.

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@ -7,7 +7,7 @@
%\renewcommand{\familydefault}{\ttdefault} % Change default font to monospace font family %\renewcommand{\familydefault}{\ttdefault} % Change default font to monospace font family
%\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} % Change default font to sans serif font family %\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} % Change default font to sans serif font family
\usepackage[T1]{fontenc} % Set the font (output) encoding \usepackage[T1]{fontenc} % Set the font (output) encoding
\usepackage[french]{language_selector} \usepackage[french]{language_selector} % Allow to the language the document is written to ([french], english)
%\usepackage[autolanguage]{numprint} % for the \nombre command %\usepackage[autolanguage]{numprint} % for the \nombre command
\usepackage{hyphenat} % Hyphenation rules \usepackage{hyphenat} % Hyphenation rules
\hyphenation{mate-mática recu-perar} \hyphenation{mate-mática recu-perar}
@ -48,7 +48,7 @@
\langchapter{Préambule}{Stuffings} \langchapter{Préambule}{Stuffings}
%TODO Complete chapter %TODO Complete chapter
\langsection{Motivations}{Motivations} \section{Motivations}
%TODO Complete section %TODO Complete section
Ce notebook est destinée à acueillir mes maigres connaissances manière digeste et mais intrinsecement imcomplet, imprècis voir éronné. A vous lecteur qui découvrent ce notebook, accueiller le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire. Ce notebook est destinée à acueillir mes maigres connaissances manière digeste et mais intrinsecement imcomplet, imprècis voir éronné. A vous lecteur qui découvrent ce notebook, accueiller le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire.