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@ -1,7 +1,7 @@
\langchapter{Théorie des Catégories}{Category theory}
%TODO Complete chapter
\section{Morphismes}
\langsection{Morphismes}{Morphisms}
%TODO Complete section
\section{Functors}

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@ -33,16 +33,15 @@ $2 := \{\{\emptyset\}\}$
$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$
Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly.
Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0.
\subsection{Relations binaries}
\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection
\subsection{Opérateurs}
\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete subsection
\subsection{Dénombrabilité}
%\subsection{Countability}
\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
\begin{definition_sq} \label{definition:countability}
Un ensemble $E$ est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une application injective de $E$ dans $\N$.
@ -56,7 +55,7 @@ L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible.
De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie.
\subsubsection{Démonstration}
\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
@ -99,13 +98,13 @@ Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N
$\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$
\subsection{Relations binaries}
\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection
\subsection{Opérateurs}
\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete subsection
\subsection{Dénombrabilité}
\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas.
@ -113,7 +112,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la t
L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
\end{theorem_sq}
\subsubsection{Démonstration}
\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
@ -132,12 +131,12 @@ $p \in \Z, q \in \N, \frac{p}{q}$
$PGCD(p,q) := 1$
\subsection{Relations binaries}
\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection
$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
\subsection{Opérateurs}
\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete subsection
$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$
@ -146,7 +145,7 @@ $\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$
$\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
\subsection{Dénombrabilité}
\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas.
@ -154,7 +153,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombra
L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
\end{theorem_sq}
\subsubsection{Démonstration}
\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
\begin{center}
\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
@ -176,7 +175,7 @@ $\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$
%\citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
\citeannexes{project_vae}
\subsection{Coupes de Dedekind}
\langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts}
%TODO Complete subsection
\langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
@ -202,12 +201,12 @@ $i^2 = -1$
\hline
\end{tabular}
\subsection{Relations binaries}
\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection
$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C^2, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$
\subsection{Opérateurs}
\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete subsection
Il est impossible d'avoir une relation d'ordre dans le corps des complexes mais on peux construire une relation lexicographique.
@ -317,18 +316,21 @@ Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujour
Il existe une infinité de nombres premiers.
\end{theorem_sq}
\langsubsubsection{Démonstration}{Demonstration}
\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
Par preveue par contradiction, supposons qu'il existe un nombre fini de nombre premiers.
\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
$\Pn = \{p | p \in \N^* \land p \text{ est premier}\} = p_0, p_1, \dots p_{n-1}, p_n$
$\omega = (\prod_{p\in \Pn} p) + 1$
$\forall p \in \Pn, \omega \div p$
$\forall p \in \Pn, \lnot(\omega \div p)$
$\omega \notin \Pn \land \omega$ est premier
$\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn$
$\rightarrow\leftarrow$
$\implies$ Il existe une infinité de nombre premiers.
$\implies |P| = \infty$
Il existe une infinité de nombre premiers.

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@ -7,7 +7,7 @@
%\renewcommand{\familydefault}{\ttdefault} % Change default font to monospace font family
%\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} % Change default font to sans serif font family
\usepackage[T1]{fontenc} % Set the font (output) encoding
\usepackage[french]{language_selector}
\usepackage[french]{language_selector} % Allow to the language the document is written to ([french], english)
%\usepackage[autolanguage]{numprint} % for the \nombre command
\usepackage{hyphenat} % Hyphenation rules
\hyphenation{mate-mática recu-perar}
@ -48,7 +48,7 @@
\langchapter{Préambule}{Stuffings}
%TODO Complete chapter
\langsection{Motivations}{Motivations}
\section{Motivations}
%TODO Complete section
Ce notebook est destinée à acueillir mes maigres connaissances manière digeste et mais intrinsecement imcomplet, imprècis voir éronné. A vous lecteur qui découvrent ce notebook, accueiller le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire.