contents/computer_science.tex : Renamed 'denumbrability' to countability and added more theorems and properties

contents/number_theory.tex

@@ -10,30 +10,26 @@
 \langsubsection{Construction de Von Neumann}{Von Neumann's construction}
 %TODO Complete subsection
 
-Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
+Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
 
-$0 := \emptyset$
+$$0 := \emptyset$$
-
+$$n+1 := \{n + 1\} \cup \Union_{k \in \N} n_k$$
-$1 := \{0\} = \{\emptyset\}$
+$$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$$
-
-$2 := \{1, 0\} = \{\{\}\}$
 
 \subsection{Construction de ??}
 %TODO Complete subsection
 
-Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
+Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
 
 $0 := \emptyset$
 
 Using recursion, we can define all the following integers.
 
-$1 := \{\emptyset\}$
+$n + 1 := \{n\}$
-
-$2 := \{\{\emptyset\}\}$
 
 $\N := \{0,1,2,3,\dots\}$
 
-Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0.
+Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate and makes writing some proofs less verbose, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0.
 
 \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
 %TODO Complete subsection
@@ -44,7 +40,7 @@ Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$
 \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:countability}
-Un ensemble $E$ est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une application injective de $E$ dans $\N$.
+Un ensemble $E$ est dit \textbf{dénombrable} si, et seulement si, il existe une application injective \ref{definition:injective} de $E$ dans une partie de $\N$.
 \end{definition_sq}
 
 \langsubsection{Infini}{Infinity}
@@ -67,8 +63,6 @@ $\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$
 
 $\functiondef{n}{2n}$
 
-\end{proof}
-
 On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante :
 
 $\function{g}{\N,\N}{\N_c}$
@@ -79,6 +73,8 @@ $\functiondef{n,c}{cn}$
 
 Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$, par \ref{definition:countability} il sont donc de même "taille".
 
+\end{proof}
+
 \langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
 %TODO Complete subsection
 
@@ -91,6 +87,10 @@ Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$,
 Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N$.
 \end{theorem_sq}
 
+\begin{theorem_sq}
+$\sum\limits_{i=1}^n i = 1 + 2 + \cdots + n =  \frac{n(n+1)}{2}$
+\end{theorem_sq}
+
 \langsection{Construction des entiers relatifs $(\Z)$}{Construction of relative numbers}
 %TODO Complete section
 
@@ -106,16 +106,20 @@ $\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} = \Union_{n \in \N} n \union \Union_{n \
 
 De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas.
 
-\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_integers}
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_integers}
 L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
 
+On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant
+
 \begin{center}
 	\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
 \end{center}
 
+Plus rigouresement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective
+
 $\function{f}{\Z}{\N}$
 
 $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
@@ -125,9 +129,9 @@ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
 \langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
 %TODO Complete section
 
-$p \in \Z, q \in \N, \frac{p}{q}$
+$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land PGCD(p,q) = 1$
 
-$PGCD(p,q) := 1$
+$\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$
 
 \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
 %TODO Complete subsection
@@ -137,34 +141,120 @@ $\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \
 \langsubsection{Opérateurs}{Operators}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$
+\langsubsubsection{Égalité}{Equality}
 
-$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$
 
-$\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
+$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} := \frac{pb + aq}{qb}$
+
+$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} := \frac{pa}{qb}$
+
+$\implies \forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
+
+$\implies \forall (p,q) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{p}{q}$ L'opérateur est réflective \ref{definition:reflexivity}
+
+L'opérateur est associative \ref{definition:associativity}
+
+$\frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
+
+\begin{proof}
+
+Let $\forall (p,q), (m,n) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b}$
+
+$\implies pn = qm \land mb=na$
+
+$\implies pnmb = qmna$
+
+$\implies pmb = qma$
+
+if $m \neq 0$
+
+$\implies pb = qa$
+
+$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
+
+otherwise
+
+$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0$
+
+$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
+
+By proof by cases $\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
+
+\end{proof}
 
 \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
 
 De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas.
 
-\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_rationals}
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_rationals}
 L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
 
+On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant noté $G^+$
+
 \begin{center}
 	\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
 \end{center}
 
+Nous pouvons construire le même graphique pour les nombres négatifs, noté $G^-$, puis nous pouvons construire une fonction tel que $G^+ \union \{0\} \union G^-$, or une union dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable.
+
+Plus rigouresement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective
+
 $P_i$ sont des nombres premiers.
 
 $\function{f}{\Q}{\N}$
 
-$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{\abs{p}} + 1}P_2^pP_3^q}$
+$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{\frac{p}{\abs{p}} - 1}{2}}P_2^pP_3^q}$
+
+Hors, toutes fonctions injective dans $\N$ est dénombrable donc $\Q$ est dénombrable.
 
 \end{proof}
 
+\langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
+%TODO Complete subsection
+
+Définissons $\floor{x}$ tel que $x - 1 < \floor{x} \le x < \floor{x} + 1$
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:repeating_decimals}
+Un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que
+
+$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$
+
+$\equivalence x \in \Q$
+
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+
+\impliespart
+
+Supposons un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répéte en $n$ chiffres tel que
+
+$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$ , $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$
+
+$\function{S}{\R}{\Z}$
+
+$Sign(x) = \begin{cases}-1 & x < 0 \\ 1 & x \ge 0\end{cases}$
+
+Posons $z \in \Z$ et $r \in \R$ tel que $z = Sign(x)\floor{\abs{x}}$ et $r = \fractional{x}$ ainsi que $x = z + r$.
+
+$r = 0, \overline{d_1d_2 \cdots d_n}$
+
+$\implies 10^nr = d_1d_2 \cdots d_n, \overline{d_1d_2 \dots d_n}$
+
+$\implies (10^n - 1)r = d_1d_2 \cdots d_n$
+
+$\implies r = \frac{d_1d_2 \cdots d_n}{10^n - 1}$
+
+$\implies r \in \Q \implies z + r \in \Q \implies x \in \Q$
+
+\Limpliespart
+
+Supposons un nombre $x \in \Q$ tel que $p \in Z, q \in N^*, PGCD(p,q) = 1, x = \frac{p}{q}$
+
+Lors d'une longue division on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par définition $0 \ge r < q$, si $r = 0$ alors la séquence de décimales se terminent, sinon il y a $q - 1$ possibilités possibles qui est un nombre fini et donc non répétable à l'infini, $\implies \exists n \in \N, r_n \in \Union_{k \ge 0} r_k$ est donc créer une séquence de décimales qui se répétera.
 \end{proof}
 
 \langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}
@@ -186,7 +276,7 @@ $\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $
 
 $i^2 = -1$
 
-\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c||c|c|}
@@ -224,7 +314,7 @@ $\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
 
 Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
 
-\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
@@ -246,7 +336,7 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
 
 Source: \citeannexes{wikipedia_octonion}
 
-\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
@@ -284,7 +374,7 @@ Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur
 
 Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
 
-\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
@@ -320,9 +410,7 @@ Il existe une infinité de nombres premiers.
 \lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
 {By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
 
-$\Pn = \{p | p \in \N^* \land p \text{ est premier}\} = p_0, p_1, \dots p_{n-1}, p_n$
+Let $\Pn := \{p | p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
-
-$\omega = (\prod_{p\in \Pn} p) + 1$
 
 $\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$
 

graphs/countability_integers.gv

@@ -1,4 +1,4 @@
-digraph denumberabilityIntegers {
+digraph countabilityIntegers {
 	node [shape = plaintext, fontcolor = White, fontsize = 30];
 	rankdir = LR;
 	bgcolor = None;

graphs/countability_rationals.gv

@@ -1,4 +1,4 @@
-digraph denumberabilityRationals {
+digraph countabilityRationals {
 	node [shape = plaintext, fontcolor = White, fontsize = 15];
 	rankdir = LR;
 	bgcolor = None;