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contents/algebra.tex : Added inversible matrix, diagonalizable matrix and hermitian space definitions && tweaked bilinear form definition

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saundersp
2025-01-23 12:36:47 +01:00
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contents/algebra.tex
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@@ -99,15 +99,20 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
%TODO Complete subsubsection
\subsection{Inverse}
%TODO Complete subsection
$det(M) \neq 0$
\begin{definition_sq} \label{definition:inversible_matrix}
Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{inversible} sur $\K$ si et seulement si $det(A) \neq 0$.
\end{definition_sq}
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
\langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization}
%TODO Complete subsection
\begin{definition_sq} \label{definition:diagonalizable_matrix}
Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{diagonalisable} sur $\K$ s'il existe une matrice inversible \ref{definition:inversible_matrix} $P \in M_n(\K)$ ainsi qu'une matrice diagonale $D \in M_n(\K)$ tel que $A = PDP^{-1}$
\end{definition_sq}
\langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
%TODO Complete subsection
@@ -281,19 +286,21 @@ Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$
\item{Or (a faster way): $\forall(a,x,y) \in \mathbb{K}, f(x + ay) = f(x) + af(y)$}
\end{itemize}
\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form} \label{definition:bilinear_form}
\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form}
\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
\begin{definition_sq} \label{definition:bilinear_form}
Une forme bilinéaire est une application $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respecte les axiomes suivants :
$u,v,w \in E, a \in K$
$u,v,w \in E, a \in K$
\begin{itemize}
\item{$B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$}
\item{$B(au,w) = B(u,aw) = aB(u,w)$}
\item{$B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$}
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item{$B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$}
\item{$B(au,w) = B(u,aw) = aB(u,w)$}
\item{$B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$}
\end{itemize}
\end{definition_sq}
\langsubsection{Produit scalaire}{Inner product}
@@ -343,3 +350,9 @@ Un $\K$-espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire $\innerproduct{-}{-}$ no
\begin{definition_sq} \label{definition:euclidian_space}
Un \textbf{espace euclidien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} réel à dimension finie.
\end{definition_sq}
\langsubsection{Espace Hermitien}{Hermitian Space}
\begin{definition_sq} \label{definition:hermitian_space}
Un \textbf{espace hermitien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} complexe à dimension finie.
\end{definition_sq}