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@ -4,39 +4,79 @@
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\section{Structures}
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%TODO Complete section
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\subsection{Magma} \label{definition:magma}
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\subsection{Magma}
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Soit un ensemble $S$ avec une loi de composition interne $(\star)$ notée $(S,\star)$ tel que $\forall(a,b) \in S, a \star b \in S$.
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\begin{definition_sq} \label{definition:magma}
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Un magma est un ensemble $E$ avec une loi de composition interne $\function{\star}{E^2}{E}$ notée $(E, \star)$ tel que $\forall(a, b) \in E, a \star b \in E$.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Magma unital}{Unital magma} \label{definition:unital_magma}
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\langsubsection{Magma unital}{Unital magma}
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Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,\star)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e \star a = a$.
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\begin{definition_sq} \label{definition:unital_magma}
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Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} si $\exists 0_E \in E, \forall a \in E, 0_E \star a = a$.
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\end{definition_sq}
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\subsection{Monoïde} \label{definition:monoid}
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\subsection{Monoïde}
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Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,\star)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
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\begin{definition_sq} \label{definition:monoid}
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||||
Un monoïde $(E, \star)$ est un magma unital \ref{definition:unital_magma} dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group}
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\langsubsection{Groupe}{Group}
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Soit un monoïde \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$.
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\begin{definition_sq} \label{definition:group}
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||||
Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_E$.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group}
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\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group}
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Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
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\begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group}
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||||
Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism}
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\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism}
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Un morphisme de groupe est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des groupes ($\Grp$).
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Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ deux groupes ainsi que l'application $\function{\phi}{X}{Y}$ tel que
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$$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$
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Similairement, le diagramme suivant commute :
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\[\begin{tikzcd}
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X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\
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X \arrow[r, "\phi"] & Y
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\end{tikzcd}\]
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
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$$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un épimorphisme \ref{definition:epimorphism}.
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$f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$
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$(G, +) \in Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
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\end{proof}
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\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
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Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesianProduct)$ notée $(F,+,\cartesianProduct)$.
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Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesianProduct)$ notée $(F, +, \cartesianProduct)$.
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\begin{itemize}
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\item{$(F,+)$ est un groupe \ref{definition:group} unital en $0_e$}
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\item{$(F\backslash\{0_e\},\cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}}
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\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $0_E$}
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\item{$(F\backslash\{0_E\}, \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}}
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\end{itemize}
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\langsubsubsection{Corps abélien}{Abelian field} \label{definition:abelian_field}
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Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
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\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field} \label{definition:commutative_field}
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Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
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\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
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%TODO Complete subsection
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@ -50,7 +90,7 @@ Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
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La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \{1, \cdots, n\}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
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||||
La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \discreteInterval{1, n}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
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\end{definition_sq}
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\subsection{Trace}
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@ -80,12 +120,12 @@ $Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$
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\langsubsection{Déterminant}{Determinant}
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%%TODO Complete subsection
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$\function{D}{\mathcal{M}_{m\cartesianProduct n}(\R)}{R}$
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$\function{D}{\mathcal{M}_{m, n}(\R)}{R}$
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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%%TODO Complete subsubsection
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$\forall M \in \mathcal{M}_{m\cartesianProduct n}$
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$\forall M \in \mathcal{M}_{m, n}$
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\begin{itemize}
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\item{$\forall \lambda \in \K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
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\end{itemize}
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@ -110,7 +150,7 @@ $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
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%TODO Complete subsection
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\begin{definition_sq} \label{definition:diagonalizable_matrix}
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Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{diagonalisable} sur $\K$ s'il existe une matrice inversible \ref{definition:inversible_matrix} $P \in M_n(\K)$ ainsi qu'une matrice diagonale $D \in M_n(\K)$ tel que $A = PDP^{-1}$
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Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{diagonalisable} sur $\K$ s'il existe une matrice inversible \ref{definition:inversible_matrix} $P \in GL_n(\K)$ ainsi qu'une matrice diagonale $D \in M_n(\K)$ tel que $A = PDP^{-1}$
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
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@ -123,59 +163,76 @@ $det(M) \in \{-1,1\}$
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$a \in Tr_n$
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\subsection{Exponentiation}
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%TODO Complete subsection
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\begin{definition_sq} \label{definition:exponentiation_matrix}
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Pour $A \in M_n(\K)$, on définit
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$$e^A := \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{A^n}{n!}$$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Pour tout $A \in M_n(\K)$ converge dans $M_n(\K)$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $A \in M_n(\K)$ ainsi qu'une norme subordonnée quelconque $\matrixnorm{.}$.
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$$\forall n \in \N, \matrixnorm{\frac{A^n}{n!}} \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Pour tout $A,B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$ alors $e^{A + B} = e^A e^B = e^B e^A$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $A,B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$. Posons $U_n := \frac{A^n}{n!}$ et $V_n := \frac{B^n}{n!}$, comme $U_n$ et $V_n$ converge absolument, leur produit de série $W_n := \sum\limits_{n \in \N} U_n \sum\limits_{k \in \N} V_k$ aussi. Hors,
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$$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n U_k V_{n - k} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!}$$
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comme $AB = BA$ et en tendant $n$ vers l'infini cela donne $\lim\limits_{n \to +\infty} W_n = e^A e^B = e^B e^A$
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Sachant la formule du binôme de Newton $(A + B)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{n!}{k! (n - k)!} A^k B^{n - k}$
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$$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{(A + B)^n}{n!}$$
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en tendant $n$ vers l'infini cela donne $\lim\limits_{n \to +\infty} W_n = e^{A + B}$
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Pour tout $A \in M_n(\K)$, $e^A$ est inversible \ref{definition:inversible_matrix} et $(e^A)^{-1} = e^{-A}$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $A \in M_n(\K)$, comme $A(-A) = -AA$ alors $e^{-A} e^A = e^A e^{-A} = e^{A - A} = e^0 = \Identity_n$
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\end{proof}
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\langsection{Formes quadratiques}{Quadratic forms}
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%TODO Complete section
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\langsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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%TODO Complete subsubsection
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\begin{definition_sq} \label{definition:quadratic_form}
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On appelle \textbf{forme quadratique} sur $E$ toute application $\function{q}{E}{\R}$ telle qu'il existe une forme bilinéaire symétrique \ref{definition:bilinear_form} $\function{b}{E \cartesianProduct E}{\R}$ telle que $\forall x \in E, q(x) = b(x, x)$
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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%TODO Complete subsection
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\begin{prop_sq}
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Si $q$ une forme quadratique \ref{definition:quadratic_form}, alors la forme bilinéaire $b$ associée est unique, déterminé par les \textbf{formules de polarisation}
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$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2$
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$$b(x, y) = \frac{1}{2}\left(q(x + y) - q(x) - q(y)\right)$$
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$$= \frac{1}{4}\left(q(x + y) - q(x - y)\right)$$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsection
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On dit alors que $b$ est la \textbf{forme polaire} de $q$.
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\end{prop_sq}
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$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$
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\begin{proof}
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Soit $q$ une forme quadratique \ref{definition:quadratic_form} ainsi que ça forme bilinéaire $b$ associée. Comme $\forall x \in E, q(x) = b(x, xx)$, on peut développer, par bilinéarité et symétrie de $b$, pour obtenir
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\langsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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%TODO Complete subsubsection
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$$q(x + y) = b(x + y, x + y) = b(x, x) + 2b(x, y) + b(y, y) = q(x) + 2b(x, y) + q(y)$$
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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%TODO Complete subsection
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Ainsi que
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_3\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
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\Leftrightarrow X^TAX$
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$$q(x - y) = b(x - y, x - y) = b(x, x) - 2b(x, y) + b(y, y) = q(x) - 2b(x, y) + q(y)$$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsection
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} & \frac{a_4}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_2 & \frac{a_3}{2} \\\frac{a_3}{2} & \frac{a_4}{2} & a_3\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}
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\Leftrightarrow X^TAX$
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\langsubsection{Cas général}{General case}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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%TODO Complete subsubsection
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$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$
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\langsubsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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%TODO Complete subsubsection
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$X \in \mathcal{M}_{1,n}$
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$X = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$
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$A \in \mathcal{T}^+_{n,n}$
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$A = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$
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Les deux formules de polarisation s'en déduisent immédiatement.
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\end{proof}
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\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
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%TODO Complete section
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@ -187,32 +244,32 @@ Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
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\end{itemize}
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\bigskip
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Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$
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Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$
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\begin{itemize}
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\item{Unital en $*$}
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\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)a=\alpha a + \beta a$}
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\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)=(\alpha*\beta)a=\alpha(\beta a)$}
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||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
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||||
\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
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\end{itemize}
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||||
\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}
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\begin{definition_sq}
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||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si
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$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
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||||
$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in \K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
|
||||
\end{definition_sq}
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||||
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||||
\langsubsection{Famille génératrice}{Generating family} \label{definition:vector_space_generating_family}
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\begin{definition_sq}
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||||
Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} de $E$ si
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||||
$$\forall v \in E, \exists \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
|
||||
$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
|
||||
\end{definition_sq}
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||||
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||||
\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
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\begin{definition_sq}
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||||
Une famille est appelée une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
|
||||
Une famille est appelée une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
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||||
\subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension}
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||||
@ -229,12 +286,12 @@ Une famille est appelée une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definit
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||||
\langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
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%TODO Complete subsection
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Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est une sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :
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||||
Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est un sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :
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||||
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item{$F \ne \emptyset$}
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||||
\item{$0_E \in F$}
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||||
\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K, \forall(x,y)\in F, \alpha x + \beta y \in F$}
|
||||
\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(x, y)\in F^2, \alpha x + \beta y \in F$}
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||||
\end{itemize}
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||||
\begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces}
|
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@ -271,73 +328,84 @@ $\implies F \subset G \lor G \subset F$
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||||
\end{proof}
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||||
\langsubsection{Application linéaire}{Linear maps} \label{definition:linearity}
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||||
\langsubsection{Application linéaire}{Linear map} \label{definition:linearity}
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||||
|
||||
Une application linéaire est un morphisme \ref{definition:morphism}
|
||||
appliqué à la catégorie \ref{definition:category}
|
||||
des espaces vectoriels \ref{definition:vector_space}.
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||||
\begin{definition_sq} \label{defintion:linear_map}
|
||||
Une application $\function{f}{\K}{\K}$ est une \textbf{application linéaire} d'un $\K$-espace vectoriel $E$ si il respecte les axiomes suivants :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{\lang{Additivité}{Additivity} : $\forall(x, y) \in E^2, f(x + y) = f(x) + f(y)$}
|
||||
\item{\lang{Homogénéité}{Homogeneity} : $\forall a \in \K, \forall x \in E, f(a x) = a f(x)$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
|
||||
\lang{Ou de manière plus succincte}{Or a faster way)} : $\forall a \in \K, \forall(x, y) \in E^2, f(x + a y) = f(x) + a f(y)$
|
||||
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Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$
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\begin{itemize}
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\item{Additivity: $\forall(x,y) \in \mathbb{K}, f(x+y)=f(x)+f(y)$}
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\item{Homogeneity: $\forall(a,x) \in \mathbb{K}, f(ax)=af(x)$}
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\item{Or (a faster way): $\forall(a,x,y) \in \mathbb{K}, f(x + ay) = f(x) + af(y)$}
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\end{itemize}
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Une application linéaire donc est un morphisme \ref{definition:morphism} appliqué à la catégorie \ref{definition:category} des espaces vectoriels \ref{definition:vector_space}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form}
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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\begin{definition_sq} \label{definition:bilinear_form}
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Une forme bilinéaire est une application $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respecte les axiomes suivants :
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Une forme bilinéaire est une application $\function{B}{E^2}{\K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respecte les axiomes suivants :
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$u,v,w \in E, a \in K$
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$\forall (u, v, w) \in E^3, \forall a \in \K$
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\begin{itemize}
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\item{$B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$}
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\item{$B(au,w) = B(u,aw) = aB(u,w)$}
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\item{$B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$}
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\item{$B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)$}
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\item{$B(a u, w) = B(u, a w) = a B(u, w)$}
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\item{$B(u, w + v) = B(u, v) + B(u, w)$}
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\end{itemize}
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:symmetric_bilinear_form}
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Une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} $\function{B}{E^2}{\K}$ est dite \textbf{symétrique} si $\forall (u, v) \in E^2, B(u, v) = B(v, u)$.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Produit scalaire}{Inner product}
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\begin{definition_sq} \label{definition:inner_product}
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Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respecte les axiomes suivants :
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\begin{itemize}
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||||
\item{Symétrie : $\forall(x, y) \in E^2, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
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\item{Non-dégénérescence : $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
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\end{itemize}
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Produit scalaire réel}{Real inner product}
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\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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\begin{definition_sq} \label{definition:real_inner_product}
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Un produit scalaire réel est un produit scalaire \ref{definition:inner_product} d'un $\R$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
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\end{definition_sq}
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Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respecte les axiomes suivants :
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\langsubsubsection{Produit scalaire complexe}{Complex inner product}
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\begin{itemize}
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||||
\item{Symétrie : $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
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||||
\item{Non-dégénérescence : $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
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\end{itemize}
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\begin{definition_sq} \label{definition:complex_inner_product}
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||||
Un produit scalaire complexe est un produit scalaire \ref{definition:inner_product} d'un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Norme réelle}{Real norm}
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\langsubsection{Norme}{Norm}
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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\begin{definition_sq} \label{definition:norm}
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Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $E$ est une application $\function{\norm{.}}{K}{\R_+}$ qui respecte les axiomes suivants :
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Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respecte les axiomes suivants :
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\begin{itemize}
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||||
\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
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\item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \K, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
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||||
\item{Inégalité triangulaire : $\forall (x, y) \in E^2, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
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\end{itemize}
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\end{definition_sq}
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\begin{itemize}
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\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
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||||
\item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
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||||
\item{Inégalité triangulaire : $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
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\end{itemize}
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\langsubsubsection{Norme réelle}{Real norm}
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\langsubsection{Norme complexe}{Complex norm}
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\begin{definition_sq} \label{definition:real_norm}
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Une norme réelle est une norme \ref{definition:norm} d'un $\R$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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\langsubsubsection{Norme complexe}{Complex norm}
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Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respecte les axiomes suivants :
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\begin{itemize}
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\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
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\item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
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\item{Inégalité triangulaire : $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
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\end{itemize}
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\begin{definition_sq} \label{definition:complex_norm}
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Une norme complexe est une norme \ref{definition:norm} d'un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}
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