Added algebra_dm{1,2}, combinatorics, fourier, suites and topology_dm1

contents/topology_dm1.tex

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+\pagebreak
+\columnratio{0.5}
+
+\begin{paracol}{2}
+Pierre Saunders
+
+\switchcolumn
+\begin{flushright}
+L3 Math 2022-23
+
+Université Côte d'Azûr
+\end{flushright}
+\end{paracol}
+
+\begin{center}
+\section*{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés}
+\end{center}
+
+\bigskip
+
+
+\subsubsection{Exercice 1}
+Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
+
+\subsubsubsection{1.a}
+Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
+\\
+
+Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
+
+$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
+\\
+
+Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que
+
+$\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
+\\
+
+Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$
+
+$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$
+
+$\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$
+
+$\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
+
+$\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$.
+
+Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
+
+\begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_1}
+Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsubsection{1.b}
+Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
+\\
+
+Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.
+
+$\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \closure{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
+
+$\equivalence (x_n)$ est fermée.
+
+\begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_2}
+Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsection{Exercice 2}
+Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
+
+Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
+
+\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
+Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{lemme_sq}
+$K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation.
+\end{lemme_sq}
+
+$K$ est compact
+\\
+
+Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
+
+$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
+
+$\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$
+
+$\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$
+
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
+
+\begin{lemme_sq}
+$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact.
+\end{lemme_sq}
+
+Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
+
+\paragraph{Si $X$ est fini}
+
+$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
+
+$\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
+
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
+
+\paragraph{Si $X$ est infini}
+
+$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
+
+En fixant $l \in X$,
+
+$\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$
+
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
+
+\begin{theorem_sq}
+$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsection{Exercice 3}
+Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum.
+
+Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$
+
+Selon le \textbf{Théorème \ref{topology_dm1:theorem_1}} et \textbf{\ref{topology_dm1:theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée
+
+$\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$
+
+$\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.
+
+\begin{theorem_sq}
+Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsection{Exercice 4}
+Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
+
+$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$
+
+Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
+\\
+
+\begin{lemme_sq}
+Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente.
+\end{lemme_sq}
+
+\begin{proof}
+
+En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas.
+
+$\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \B(l, \epsilon)$
+
+$\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$
+
+$\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.
+
+\end{proof}
+
+\begin{lemme_sq}
+Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy.
+\end{lemme_sq}
+
+\begin{proof}
+
+Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
+
+$\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$
+
+$\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$
+
+$\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$
+
+$\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy.
+
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente.
+\end{theorem_sq}