Added union s.e.v proof and irrationality of sqrt

contents/algebra.tex

@@ -4,22 +4,45 @@
 \section{Structures}
 %TODO Complete section
 
-\subsection{Monoïd}
+\subsection{Magma} \label{definition:magma}
-%TODO Complete subsection
 
-\langsubsection{Corps}{Field}
+Soit une structure $S$ avec une loi de composition interne $(+)$ notée $(S,+)$ tel que $\forall(a,b) \in S, a + b \in S$.
-%TODO Complete subsection
 
-\langsubsection{Anneau}{Ring}
+\langsubsection{Magma unital}{Unital magma} \label{definition:unital_magma}
+
+Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,+)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e + a = a$.
+
+\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid}
+
+Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,+)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
+
+\langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group}
+
+Soit un monoid \ref{definition:monoid} $(G,+)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a + a^{-1} = 0_e$.
+
+\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group}
+
+Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.
+
+\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
+
+Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\times)$ notée $(F,+,\times)$.
+
+\begin{itemize}
+	\item{$(F,+)$ est un groupe \ref{definition:group} unital en $0_e$}
+	\item{$(F\backslash\{0_e\},\times)$ est un groupe \ref{definition:group}}
+\end{itemize}
+
+\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
 %TODO Complete subsection
 
 \section{Matrices}
 %TODO Complete section
 
-Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
+Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
-	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
+	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n + m$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
@@ -29,7 +52,7 @@ Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un c
 \subsection{Trace}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum_{k=1}^na_{kk}$
+$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum_{k=0}^na_{kk}$
 
 $tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$
 
@@ -58,12 +81,9 @@ $\function{D}{\mathcal{M}_{m\times n}(\R)}{R}$
 \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
 %%TODO Complete subsubsection
 
-
 $\forall M \in \mathcal{M}_{m\times n}$
 \begin{itemize}
-	\item{$M' = \begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \end{pmatrix}M$}
+	\item{$\forall \lambda \in \K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
-	\item{$\forall \lambda \in K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
-	\item{}
 \end{itemize}
 
 \langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
@@ -148,38 +168,70 @@ $A \in \mathcal{T}^+_{n,n}$
 
 $A = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$
 
-\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces}
+\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
 %TODO Complete section
 
-Soit $(E,+)$ un groupe abélien (i.e. commutatif) de $\mathbb{K}$
+Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
 
 \begin{itemize}
-	\item{muni d'une loi de composition interne notée $+$}
+	\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
-	\item{muni d'une loi de composition externe $\mathbb{K}*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
 \end{itemize}
 
 \bigskip
-Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \mathbb{K}, \forall(a,b,c) \in E$
+Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$
 
 \begin{itemize}
-	\item{Commutativité $a + b = b + a$}
+	\item{Unital en $*$}
-	\item{Associativité $(a + b) + c = a + (b + c)$}
+	\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)a+\alpha a + \beta a$}
-	\item{Élement neutre de $+ \Leftrightarrow \exists 0_E \in E : a + 0_E = a$}
+	\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)+(\alpha*\beta)a+\alpha(\beta a)$}
-	\item{Élement neutre de $* \Leftrightarrow \exists 1_K \in K : a \cdot 1_K = a$}
-	\item{Élement opposé $\forall a \in E, \exists b \in E : a + b = b + a = 0_E$}
-	\item{Stabilité par $+ \Leftrightarrow a + b \in E$}
-	\item{Distributivité $+$ de $\mathbb{K} \Leftrightarrow (\alpha+\beta)a=\alpha a + \beta a$}
-	\item{Distributivité $*$ de $\mathbb{K} \Leftrightarrow (\alpha*\beta)a=\alpha(\beta a)$}
 \end{itemize}
 
-\langsubsection{sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces}
+\langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
 %TODO Complete subsection
 
-Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $F \subset E$
+Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est une sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :
 
 \begin{itemize}
 	\item{$F \ne \emptyset$}
 	\item{$0_E \in F$}
-	\item{$\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}, \forall(x,y)\in F, \alpha x+\beta y\in F$}
+	\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K, \forall(x,y)\in F, \alpha x + \beta y \in F$}
 \end{itemize}
 
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces}
+	Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalance (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+
+Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$.
+
+\begin{centering}
+$\implies$
+\end{centering}
+
+$(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$.
+
+\begin{centering}
+$\Leftarrow$
+\end{centering}
+
+$(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$
+
+Let $x \in F \setminus G$ and $y \in G \setminus F$
+
+$(F\union G)$ s.e.v de $E \implies x + y \in F \union G$
+
+B.W.O.C let's suppose $x + y \in F \setminus G$
+
+$\implies (x + y) - x \in F \setminus G$
+
+$\implies y \in F \setminus G \land y \in G \setminus F \implies \bot$
+
+By a similar argument $y \notin G \setminus F$
+
+$\implies (y \notin F \setminus G) \land (y \notin G \setminus F) \implies \bot$
+
+$\implies F \subset G \lor  G \subset F$
+
+\end{proof}
+

contents/number_theory.tex

@@ -333,3 +333,40 @@ $\rightarrow\leftarrow$
 $\implies |P| = \infty$
 
 Il existe une infinité de nombre premiers.
+
+\langsubsection{Irrationnalité}{Irrationality}
+
+\langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime}
+$\Pn$ is the set of all prime numbers \ref{definition:prime_number}.
+$\forall p \in \Pn, \sqrt{p} \notin \Q$
+\end{theorem_sq}
+
+The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime}.
+
+\begin{proof}
+
+By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$
+
+$a \in \Z, b \in \N^*, \text{PGCD}(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
+
+$\Rightarrow p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$
+
+$\Rightarrow b^2p = a^2$
+
+$\Rightarrow p|a$
+
+Let $c \in \N^*$, $a = pc$
+
+$\Rightarrow b^2 p = (pc)^2=p^2c^2$
+
+$\Rightarrow b^2 = pc^2$
+
+$\Rightarrow p|b$
+
+$\Rightarrow (p|b \land p|a \land \text{PGCD}(a,b)=1) \Rightarrow \bot$
+
+$\Rightarrow \sqrt{p} \notin \Q$
+
+\end{proof}