contents/suites.tex : Added elementary remarks

contents/suites.tex

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 \textit{Remarque} : Une suite arithmétique est le phénomène discret d'une progression linéaire.
 
+Il est possible d'exprimer une suite arithmétique \suite{u} en fonction d'un élément $u_p$, un rang $n$ et sa raison de la manière suivante : $r$, $u_n = u_p + (n - p)r$.
+
 \begin{definition_sq}
 	\lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{géométrique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ avec $q \in E(\cartesianProduct)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}%
+	{A \textbf{geometric} sequence is defined by an initial value $u_p$ et a recurring relationship $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ with $q \in E(\cartesianProduct)$ called the \textbf{ratio} of the sequence. }
 \end{definition_sq}
 
 \textit{Remarque} : Une suite géométrique est le phénomène discret d'une progression exponentielle.
 
+Il est possible d'exprimer une suite géométrique \suite{u} en fonction d'un élément $u_p$, un rang $n$ et sa raison $r$ de la manière suivante : $u_n = u_p \cartesianProduct r^{n - p}$.
+
 \begin{definition_sq}
 	\lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \cartesianProduct u_n +  b$ avec $a,b \in E(+,\cartesianProduct) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}%
 	{A geometric sequence is defined by $$ }
@@ -29,6 +34,15 @@
 
 \langsection{Limite de suite}{Limit of sequences}
 
+Lorsque $E = \R$ ou $\C$, une suite géométrique \suite{u} de raison $q$ a plusieurs comportements asymptotiques possibles selon la raison :
+
+\begin{itemize}
+	\item{$\abs{q} < 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0$}
+	\item{$q = 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 1$}
+	\item{$q > 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = +\infty$}
+	\item{$q \le 1$ alors la limite n'existe pas.}
+\end{itemize}
+
 \begin{definition_sq} \label{definition:cauchy_sequence}
 	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{suite de Cauchy} si
 	$$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$
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 \lang{Lorsque l'on tend $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.}
 
+\begin{theorem_sq}
+	Le point d'adhérence d'une suite de Cauchy est unique.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit une suite de Cauchy \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$, supposons que cette suite a au moins un point d'adhérence
+
+	Soit deux points d'adhérence $x$ et $y$ différents, comme $E$ est un espace séparé $\exists \epsilon \in R_+^*$ tel que l'on peut construire deux boules centrées en $x$ et $y$ tel que $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset$.
+
+	Comme \suite{u} est une suite de Cauchy, $\exists N \in \N, \forall m,n \ge N$ tel que $d(u_n, u_m) < \frac{\epsilon}{4}$. Comme $x$ est un point d'adhérence $u_n \in \B(x, \frac{\epsilon}{4})$.
+
+	Par inégalité triangulaire, $d(u_m, x) \le d(u_m, u_n) + d(u_n, x) = \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \implies u_m \in b(x, \frac{\epsilon}{2})$.
+	Hors comme $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset \implies u_m \notin b(y, \frac{\epsilon}{2})$, sauf que cela contredit le fait que $y$ est un point d'adhérence.
+	Il ne peut donc pas y avoir deux points d'adhérence différents dans une suite de Cauchy.
+\end{proof}
+
 \begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence}
 	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si
 	$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$
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 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
-	Le point d'adhérence d'une suite de Cauchy est unique.
+	Toute suite convergente est bornée.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
-	Soit une suite de Cauchy \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$, supposons que cette suite à au moins un point d'adhérence
+	Soit \suite{X} une suite convergente en $l$.
 
-	Soit deux points d'adhérence $x$ et $y$ différents, comme $E$ est un espace séparé $\exists \epsilon \in R_+^*$ tel que l'on peut construire deux boules centrées en $x$ et $y$ tel que $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset$.
+	% TODO Complete proof
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-	Comme \suite{u} est une suite de Cauchy, $\exists N \in \N, \forall m,n \ge N$ tel que $d(u_n, u_m) < \frac{\epsilon}{4}$. Comme $x$ est un point d'adhérence $u_n \in \B(x, \frac{\epsilon}{4})$.
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-	Par inégalité triangulaire, $d(u_m, x) \le d(u_m, u_n) + d(u_n, x) = \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \implies u_m \in b(x, \frac{\epsilon}{2})$
-	mais comme $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset \implies u_m \notin b(y, \frac{\epsilon}{2})$, sauf que cela contredit le fait que $y$ est un point d'adhérence.
-
-	Il ne peux donc pas y avoir deux points différents adhérence dans une suite de Cauchy.
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence}