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4f1047f182
@ -3,23 +3,45 @@
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La topologie traite de l'étude des applications continues.
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\langsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions}
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\langsection{Espaces topologique}{Topologic spaces}
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A metric space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted $(E,\tau_E)$.
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\langsubsection{Axiomes}{Axioms}
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\begin{itemize}
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\item{$\{\emptyset, E\} \subseteq \tau_E$}
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\item{Every union of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Union\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^* \lor \infty} \in \tau_E$}
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\item{Every finite intersection of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Intersection\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^*} \in \tau_E$}
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\end{itemize}
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\langsection{Espaces métrique}{Metric spaces}
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\begin{definition_sq} \label{definition:metric_space}
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A metric space is a set $E$ with a distance function $\function{d}{E^2}{\R_+}$ noted $(E,d)$ satisfaing the following axioms :
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\begin{itemize}
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\item{$\forall x,y \in E, d(x,y) = 0 \equivalence x = y$}
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\item{Symetry: $\forall x,y \in E, d(x,y) = d(y,x)$}
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\item{Triangular inegality: $\forall x,y,z \in E, d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$}
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\end{itemize}
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions}
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Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel.
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\langsubsection{Normes}{Norms}
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\langsubsubsection{Normes}{Norms}
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Une norme sur $E$ est une application continue qui vérifie certaines propriétés.
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\smallskip
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$\function{\norm{.}}{E}{\R}$
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$\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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\begin{itemize}
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\item{$\forall x \in E, \norm{x} \ge 0$}
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\item{$\norm{x} \equivalence x = 0$}
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\item{$\norm{x} = 0 \equivalence x = 0$}
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\item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
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\item{$\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} (inégalité triangulaire)
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\end{itemize}
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@ -28,14 +50,14 @@ $\function{\norm{.}}{E}{\R}$
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On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}.
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\langsubsubsection{Exemples}{Examples}
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\langsubsubsubsection{Exemples}{Examples}
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$n \in \N^*, E = \R^n$
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\begin{itemize}
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\item{$\norm{x}_1 = \sum\limits_{i=0}^n \abs{x_i}$}
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\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum\limits_{i=0}^n x^2_i}$}
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\item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_0}, \dots, \abs{x_n}\}$}
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\item{$\norm{x}_1 = \sum\limits_{i = 1}^n \abs{x_i}$}
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\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^n x^2_i}$}
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\item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_1}, \dots, \abs{x_n}\}$}
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\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 \abs{P(x)}dx$}
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\item{$m \in \N^*, E = \mathcal{L}(R^n, R^m), \norm{\phi} = \max\{\norm{\phi(e_i)}_\infty, i \subseteq N^*\}$} ($e_i :=$ base canonique de $\R^n$)
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||||
\item{Avec $(E,\norm{.}_E)$ et $(F,\norm{.}_F)$, on définit la \textbf{norme produit} $\norm{E \times F}$ sur $E \times F$ par $u \in E, v \in F, \norm{(u,v)}_{E \times F} = \norm{u}_E + \norm{v}_F$}
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@ -81,176 +103,219 @@ Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle e
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Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espaces vectoriel normé $(E, \norm{.})$.
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On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim(x_n) = l$ ou $x_n \rightarrow l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$
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On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim\limits{x_n} = l$ ou $x_n \to l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$
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\subsection{Application}
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Soit $(E, \norm{.}_E)$, $(F, \norm{.}_F)$, $A \subset E$, $\function{f}{A}{F}$, $t,x \in A$ et $l \in F$.
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On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $\lim_{t\rightarrow x}f(t) = l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists \delta \in \R_+^*, \suchas t \in B_E(x, \delta) \implies f(t) \in B_F(l, \epsilon)$
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||||
On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $\lim\limits_{t \to x}f(t) = l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists \delta \in \R_+^*, \suchas t \in B_E(x, \delta) \implies f(t) \in B_F(l, \epsilon)$
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\langsection{Transitivité}{Transitivity}
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Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
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\section{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés}
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\subsection{Exercice 1}
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Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
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\subsubsection{1.a} \label{sec:ex1a}
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Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
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Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
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$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
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\\
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Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que
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$\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
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\\
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Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$
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$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$
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$\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$
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$\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
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$\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$.
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Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
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\begin{theorem_sq} \label{theorem_1}
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Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
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\end{theorem_sq}
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\subsubsection{1.b} \label{sec:ex1b}
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Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
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\\
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Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.
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$\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
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||||
$\equivalence (x_n)$ est fermée.
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\begin{theorem_sq} \label{theorem_2}
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Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
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\end{theorem_sq}
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\subsection{Exercice 2}
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Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
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Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
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\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
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||||
Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
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\begin{definition_sq}
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||||
Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour tout paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
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\end{definition_sq}
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\begin{lemme_sq}
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||||
$K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation.
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\end{lemme_sq}
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\langsection{Adhérence}{Closure}
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$K$ est compact
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\\
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\begin{definition_sq}
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Un point $x$ d'un espace métrique $(E,d)$ \textbf{adhère} à une partie de $A$ de $E$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A$ i.e.
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$$A \subseteq E, x \in E, \forall \epsilon > 0, \B(x, \epsilon) \intersection A \ne \emptyset$$
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\end{definition_sq}
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||||
Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
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\begin{definition_sq}
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L'adhérence $\closure{A}$ de $A$ est l'ensemble des points adhérent de $A$.
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\end{definition_sq}
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$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
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$\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$
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$\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$
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$\implies K$ possède un point d'accumulation
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\begin{lemme_sq}
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$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact.
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\end{lemme_sq}
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||||
Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
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\paragraph{Si $X$ est fini}
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$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
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$\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
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$\implies K$ possède un point d'accumulation
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\paragraph{Si $X$ est infini}
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$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
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En fixant $l \in X$,
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$\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$
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$\implies K$ possède un point d'accumulation
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\begin{theorem_sq}
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$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact.
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\end{theorem_sq}
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\subsection{Exercice 3}
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Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum.
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Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$
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Selon le \textbf{Théorème \ref{theorem_1}} et \textbf{\ref{theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée
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$\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$
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$\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.
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\begin{theorem_sq}
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Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
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\end{theorem_sq}
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\subsection{Exercice 4}
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Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
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$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$
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Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
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\begin{lemme_sq}
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Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente.
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\end{lemme_sq}
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\begin{prop_sq} \label{proposition:closure_is_smallest_closed}
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Soit $A$ une partie de $(E, d)$ un espace métrique. Alors l'adhérence $\closure{A}$ de $A$ est la plus petite (au sens de l'inclusion) partie fermée de $E$ contenant $A$. En particulier si $A$ est fermée alors $\closure{A} = A$.
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\end{prop_sq}
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\begin{proof}
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En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas.
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$\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$
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$\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$
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$\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{lemme_sq}
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Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy.
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\end{lemme_sq}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:subset_implies_closure}
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Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
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$$A \subseteq B \implies \closure{A} \subseteq \closure{B}$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
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$\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$
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$\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$
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$\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$
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$\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy.
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Soit $A$,$B$ deux espaces topologique et $A \subseteq B$.
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Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$ mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$.
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente.
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Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
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$$\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$.
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
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$$\closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\subseteqpart
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Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.
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\Lsubseteqpart
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Sachant que $A \subseteq \closure{A} \land B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} en faisait l'union des deux cela donne $A \union B \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$, or $\closure{A} \union \closure{B} \equivalence E\setminus\closure{A} \intersection E\setminus\closure{B}$, il s'agit d'une intersection finie d'ouverts donc $\closure{A} \union \closure{B}$ est fermé donc par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.
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$(\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}) \land (\closure{A \union B} \supseteq \closure{A} \union \closure{B}) \implies \closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$
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\end{proof}
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\langsection{Complétude}{Completeness}
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\begin{definition_sq}
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Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergente \ref{definition:convergence_sequence}.
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Théorème des points fixe (Théoreme de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)}
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\begin{proof}
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Soit $(E, d)$ un espace métrique \ref{definition:metric_space} et $\phi$ un endomorphisme \ref{definition:endomorphism} contractant i.e.
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$$\function{\phi}{E}{E}$$
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$$\exists k \in [0, 1[ \subset \R_+, \forall x,y \in E, d(\phi(x),\phi(y)) \le k \cdot d(x,y)$$
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Soit $x_0 \in E$ et définisons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$.
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Par induction sur $n$ montrons la proposition $(h_n)$ définie comme $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$
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Comme cas initial prenons $n = 1$.
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Par définition de la suite \suite{x}.
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$$d(x_2, x_1) = d(\phi(x_1), \phi(x_0))$$
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Par définition de la fonction $\phi$.
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$$\implies d(\phi(x_1), \phi(x_0)) \le k \cdot d(x_1, x_0)$$
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Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothése d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'héréditée $n + 1$
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||||
Par définition de la suite \suite{x}.
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$$d(x_{n + 2}, x_{n + 1}) = d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n))$$
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Par définition de la fonction $\phi$.
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$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k \cdot d(x_{n + 1}, x_n)$$
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Par l'hypothése d'induction.
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$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k^n \cdot k \cdot d(x_1, x_0) = k^{n + 1} \cdot d(x_1, x_0)$$
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Ce qui conclut l'induction et prouve $(h_n)$. Maintenant montrons que \suite{x} est une suite de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence}.
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Soit $m,n \in \N$ tel que $m > n$.
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Par inégalité triangulaire
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$$d(x_m, x_n) \le \sum\limits_{i = 0}^{m - n - 1} d(x_i, x_{i - 1})$$
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Par ($h_n$)
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$$\implies \sum\limits_{i = 1}^{m - n - 1} d(x_i, x_{i - 1}) \le \sum\limits_{i = 0}^{m - n - 1} k^{n+i}d(x_1, x_0) \le k^n \cdot d(x_1, x_0) \sum\limits_{i = 0}^{+\infty}k^i$$
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On reconnaît une série géométrique
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$$\implies k^n \cdot d(x_1, x_0) \sum\limits_{i = 0}^{+\infty}k^i = k^n \cdot d(x_1, x_0) \left( \frac{1}{1 - k} \right)$$
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Posons $\epsilon \in \R_+^*$, comme $\abs{k} < 1 \implies \exists N \in \N, k^{N+m} \le \frac{\epsilon (1 - k)}{d(x_1, x_0)}$.
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$$\implies d(x_m, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0) \left( \frac{1}{1 - k} \right) \le d(x_1, x_0) \frac{1}{1 - k} \left( \frac{\epsilon (1 - k)}{d(x_1, x_0)} \right) = \epsilon$$
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La suite \suite{x} est donc de Cauchy.
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\end{proof}
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\langsection{Séparation}{Separation}
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\begin{definition_sq} \label{definition:separated_space}
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Un espace topologique est dit séparés si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Tout les un espaces métrique sont séparés.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(E, d)$ un espace métrique non vide et $x,y \in E \land x \ne y$ $\implies d(x, y) \ne 0$.
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Soit $r := d(x, y)$ ainsi que les boules ouvertes $B_x := \B(x, \frac{r}{2})$ et $B_y := \B(y, \frac{r}{2})$, par construction de $B_x$ et $B_y$ i.e. $\frac{r}{2} < r \implies y \notin B_x \land x \notin B_y$.
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Soit $z \in B_x \intersection B_y \equivalence [ d(x, z) < \frac{r}{2} \land d(y, z) < \frac{r}{2} ] \equivalence r > r$
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Cette proposition étant toujours fausse $B_x \intersection B_y = \emptyset$.
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Tout les singletons d'un espace métrique sont fermés.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(E, d)$ un espace métrique non vide et $x,y \in E \land x \ne y$
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$\implies d(x, y) \ne 0$. Soit $r := d(x, y)$ ainsi que $B_x := \B(x, \frac{r}{2})$ et $B_y := \B(y, \frac{r}{2})$ par construction de $B_x$ et $B_y$ i.e. $\frac{r}{2} < r \implies y \notin B_x \land x \notin B_y$.
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$z \in B_x \intersection B_y \equivalence [ d(x, z) < \frac{r}{2} \land d(y, z) < \frac{r}{2} ] \equivalence r > r$
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Cette proposition étant toujours fausse $B_x \intersection B_y = \emptyset$, les singletons de $E$ sont donc séparés.
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\end{proof}
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\langsection{Compacité}{Compactness}
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\begin{definition_sq}
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Un espace topologique $E$ est \textbf{compact} si $E$ est séparé \ref{definition:separated_space} et si tout recouvrement de $E$ par des ouverts contient un recouvrement fini de $E$ i.e. si $E = \Union\limits_{i \in I} U_i$ avec les $U_i$ ouverts, alors il existe une partie finie $V := \{i_1, i_2, \cdots, i_n\}$ de $I$ tel que $E = \Union\limits_{v \in V} v$
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\end{definition_sq}
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\langsection{Connexité}{Connectness}
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\begin{definition_sq}
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Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continu $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq}
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Un espace topologique $E$ est \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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$\Z$ est totalement discontinu.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Posons $\left (\Union\limits_{n \in \Z} \left]n - 1/2, n + 1/2 \right[\right) \intersection \Z = \Z$.
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Chacun de ces intervalles non vides de $\R$ est ouvert et deux à deux disjoints.
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Cela implique qu'aucun élément de $\Z$ ne peut être dans la même composante connexe et donc $\Z$ est totalement discontinu.
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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$\Q$ est totalement discontinu.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(a,b) \in \Q^2$ tel que $a < b$.
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Comme les irrationnels sont denses dans $\R$, il existe $x \in \R \setminus \Q$ tel que $a < x < b$.
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De cela, nous pouvons construire les intervalles de $\R$ ouverts $L := \left]-\infty, x \right[$ et $R := \left]x, +\infty \right[$.
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Comme $(L \union R) \intersection \Q = \Q$.
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Cela montre qu'aucun rationnel ne peut être dans la même composante connexe et donc $\Q$ est totalement discontinu.
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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L'ensemble de Cantor est totalement discontinu.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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L'ensemble de Cantor $C$ peut être défini à l'aide de la suite \suite{C} tel que $C_0 := [0, 1] \subset \R$ et $C_n := \Union\limits_{k = 0}^{3^{n - 1}} \left[ \frac{2k}{3^n}, \frac{2k + 1}{3^n} \right]$ ainsi, nous pouvons définir $C := \Intersection\limits_{n = 0}^\infty C_n$.
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Remarquons que $C \subset [0, 1] \subset \R$ et qu'à chaque itération sur $n$ nous divisons l'intervalle $C_n$ en trois intervalles disjoints de longueur $3^{-n}$ en retirant l'intervalle du milieu.
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Cela implique que $C_n$ devient discontinu à l'itération $C_{n + 1}$, par induction sur $n$, aucun intervalle de $C$ n'est connecté, sauf que les bornes, elles, ne sont jamais retirées, donc $C$ est habité et il s'agit de ces seules composantes connexes à chaque itération.
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On en conclut que l'ensemble de Cantor est totalement discontinu.
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\end{proof}
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@ -377,3 +377,7 @@
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title = {Critère de Dirichlet},
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url = {https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche\&quoi=./d/dirichletcritere.html}
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}
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@online{scholarpedia_topological_transitivity,
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title = {Topological transitivity - Scholarpedia},
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url = {http://www.scholarpedia.org/article/Topological\_transitivity}
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}
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