packages/macros.sty : Added suchthat operator && typos fixes

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@@ -55,7 +55,7 @@
 \end{definition_sq}
 
 \begin{definition_sq}
-	Soit $(G, +) \in \Ab$, on appelle $T$ \textbf{groupe de torsion} l'ensemble $T := \{ g \in G \mid \exists n \in \N, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$.
+	Soit $(G, +) \in \Ab$, on appelle $T$ \textbf{groupe de torsion} l'ensemble $T := \{ g \in G \suchthat \exists n \in \N, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{definition_sq}
@@ -81,7 +81,7 @@
 \langsubsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated subgroup}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup}
-	Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \mid k \in \Z \} \subseteq G$
+	Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \suchthat k \in \Z \} \subseteq G$
 \end{definition_sq}
 
 \begin{proof}
@@ -186,7 +186,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism_kernel}
-	Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \mid \phi(g) = \Identity_G \}$.
+	Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \suchthat \phi(g) = \Identity_G \}$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -263,7 +263,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:euler_indic_func}
-	L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \mid m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$
+	L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \suchthat m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -275,7 +275,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq}
-	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \mid x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \mid x \in H \}$.
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \suchthat x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \suchthat x \in H \}$.
 
 	Soit $x, y \in G^2$, on écrit donc
 	$$x \sim_g y \equivalence y \in xH \equivalence x^{-1}y \in H$$
@@ -399,7 +399,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq}
-	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \mid k \in K, h \in H \} \subseteq G$
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \suchthat k \in K, h \in H \} \subseteq G$
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -427,7 +427,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq}
-	Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \mid \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$
+	Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \suchthat \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -655,8 +655,8 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
 	Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
 	colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe
 	des matrices de transvection cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
-	$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$
-	où $A_1 \in GL_{n - 1}(\K)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
+	$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A' \end{pmatrix}$
+	où $A' \in GL_{n - 1}(\K)$ ainsi que $\det(A') = \det(A)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -724,7 +724,7 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
-	Le tuple $(SL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
+	$SL_n(\K) \normalSubgroup GL_n(\K)$
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
@@ -741,7 +741,7 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
 
 \begin{proof}
 	Soit $A \in SL_n(\K)$, sachant \ref{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation $D_n(det(A))$, or comme $\det(A) = 1$ cela revient à la matrice identité, on peut donc en conclure que
-	$$A \left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i \right) = \Identity_n$$
+	$$A \prod\limits_{i = 1}^p M_i = \Identity_n$$
 \end{proof}
 
 \pagebreak