packages/macros.sty : Added suchthat operator && typos fixes

contents/GaussianParadigm.tex

@@ -40,7 +40,7 @@ Et à partir de cette distribution, nous pouvons assigner un point $x_i$ du set
 Avec ce changement intrinsèque dans la manière d'entraîner les modèles, nous avons avec ces distributions, plusieurs choix possibles comme :
 \begin{itemize}
 	\item Classification : on peut inférer le label en calculant l'argmin de chaque divergence de Kullback-Leibler \citereferences{kl_divergence} pour toutes les distributions
-	\item Détection d'anomalie : chaque sous distribution est gaussienne, donc un calcul du z-score ($Z=\frac{x-\mu}{\sigma}$) permet de détecter une potentielle anomalie
+	\item Détection d'anomalie : chaque sous distribution est gaussienne, donc un calcul du Z-score ($Z=\frac{x-\mu}{\sigma}$) permet de détecter une potentielle anomalie
 	\item Génération d'échantillons : avec les paramètres estimés de chaque distribution, nous pouvons utiliser un vecteur $\mathcal{N}(\mu',\sigma')$ pour générer de nouveaux vecteurs dans l'espace vectoriel estimé
 	\item Apprentissage semi-supervisée : l'entraînement du modèle ne dépend pas de $Y$ donc nous pouvons entraîner le modèle avec le maximum de données non labellisé. Ensuite, en labellisant que certains points $X$ le modèle pourra déduire quels points sont les plus similaires et en conséquence les plus susceptibles d'être du même label.
 \end{itemize}

contents/algebra.tex

@@ -55,7 +55,7 @@
 \end{definition_sq}
 
 \begin{definition_sq}
-	Soit $(G, +) \in \Ab$, on appelle $T$ \textbf{groupe de torsion} l'ensemble $T := \{ g \in G \mid \exists n \in \N, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$.
+	Soit $(G, +) \in \Ab$, on appelle $T$ \textbf{groupe de torsion} l'ensemble $T := \{ g \in G \suchthat \exists n \in \N, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{definition_sq}
@@ -81,7 +81,7 @@
 \langsubsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated subgroup}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup}
-	Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \mid k \in \Z \} \subseteq G$
+	Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \suchthat k \in \Z \} \subseteq G$
 \end{definition_sq}
 
 \begin{proof}
@@ -186,7 +186,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism_kernel}
-	Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \mid \phi(g) = \Identity_G \}$.
+	Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \suchthat \phi(g) = \Identity_G \}$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -263,7 +263,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:euler_indic_func}
-	L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \mid m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$
+	L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \suchthat m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -275,7 +275,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq}
-	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \mid x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \mid x \in H \}$.
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \suchthat x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \suchthat x \in H \}$.
 
 	Soit $x, y \in G^2$, on écrit donc
 	$$x \sim_g y \equivalence y \in xH \equivalence x^{-1}y \in H$$
@@ -399,7 +399,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq}
-	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \mid k \in K, h \in H \} \subseteq G$
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \suchthat k \in K, h \in H \} \subseteq G$
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -427,7 +427,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{definition_sq}
-	Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \mid \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$
+	Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \suchthat \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -655,8 +655,8 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
 	Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
 	colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe
 	des matrices de transvection cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
-	$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$
+	$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A' \end{pmatrix}$
-	où $A_1 \in GL_{n - 1}(\K)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
+	où $A' \in GL_{n - 1}(\K)$ ainsi que $\det(A') = \det(A)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -724,7 +724,7 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
 \end{definition_sq}
 
 \begin{theorem_sq}
-	Le tuple $(SL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
+	$SL_n(\K) \normalSubgroup GL_n(\K)$
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
@@ -741,7 +741,7 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
 
 \begin{proof}
 	Soit $A \in SL_n(\K)$, sachant \ref{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation $D_n(det(A))$, or comme $\det(A) = 1$ cela revient à la matrice identité, on peut donc en conclure que
-	$$A \left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i \right) = \Identity_n$$
+	$$A \prod\limits_{i = 1}^p M_i = \Identity_n$$
 \end{proof}
 
 \pagebreak

contents/algebra_dm1.tex

@@ -100,12 +100,12 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
 		$$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$
 	\end{proof}
 
-	Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E \mid \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
+	Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E \suchthat \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
 
-	\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E \mid \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
+	\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E \suchthat \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
 	% TODO Complete 6.
 
-	Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E \mid \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
+	Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E \suchthat \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
 
 	\item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$}
 	% TODO Complete 7.

contents/dynamic_systems.tex

@@ -21,7 +21,7 @@ Université Côte d'Azûr
 \subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique}
 
 % Emmanuel Militon
-Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) \mid n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.
+Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) \suchthat n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.
 
 Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet, on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme
 

contents/number_theory.tex

@@ -55,7 +55,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de
 
 La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
 
-$\N_{2} = \{2n \mid n \in \N\}$
+$\N_{2} = \{2n \suchthat n \in \N\}$
 
 Ou
 
@@ -129,7 +129,7 @@ $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
 \langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
 %TODO Complete section
 
-$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land PGCD(p,q) = 1$
+$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land \gcd(p, q) = 1$
 
 $\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$
 
@@ -399,10 +399,10 @@ Il existe une infinité de nombres premiers.
 
 \begin{proof}
 
-\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
+\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premier est fini.}%
 {By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
 
-Let $\Pn := \{p \mid p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
+Let $\Pn := \{p \suchthat p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
 
 $\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$
 
@@ -412,7 +412,7 @@ $\implies \card{P} = \infty$
 
 \end{proof}
 
-\langsubsection{Irrationnalité}{Irrationality}
+\langsubsection{Irrationalité}{Irrationality}
 
 \langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square}
 
@@ -427,7 +427,7 @@ The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem
 
 By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$
 
-$a \in \Z, b \in \N^*, \text{PGCD}(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
+$a \in \Z, b \in \N^*, \gcd(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
 
 $\implies p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$
 
@@ -443,7 +443,7 @@ $\implies b^2 = pc^2$
 
 $\implies p \divides b$
 
-$\implies (p \divides b \land p \divides a \land \text{PGCD}(a,b)=1) \implies \bot$
+$\implies (p \divides b \land p \divides a \land \gcd(a,b)=1) \implies \bot$
 
 $\implies \sqrt{p} \notin \Q$
 

contents/set_theory.tex

@@ -46,7 +46,7 @@ $(a, b)_K := \{\{a\}, \{a, b\}\}$
 Unite all elements of two given sets into one.
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:set_union}
-$A \union B := \{x \mid (x \in A \lor x \in B)\}$
+$A \union B := \{x \suchthat (x \in A \lor x \in B)\}$
 \end{definition_sq}
 
 Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Cat(\Set)^2, \card{E \union F} = \card{E} + \card{F} - \card{E \intersection F}$
@@ -89,9 +89,9 @@ The axiom of choice implies the law of excluding middle.
 
 Assume that $0 \ne 1$ (or any two elements that are not equal), Let $\Omega := \{0, 1\}$, $p \in \mathbf{Prop}$
 
-$A := \{ x \in \Omega \mid x = 0 \lor p \}$
+$A := \{ x \in \Omega \suchthat x = 0 \lor p \}$
 
-$B := \{ y \in \Omega \mid y = 1 \lor p \}$
+$B := \{ y \in \Omega \suchthat y = 1 \lor p \}$
 
 $\implies 0 \in A \land 1 \in B$
 
@@ -115,10 +115,10 @@ So by proof by cases $(p \lor \lnot p)$ which is the law of excluded middle \ref
 Unite all common elements of two given sets into one.
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:set_intersection}
-$A \intersection B := \{x \mid (x \in A \land x \in B)\}$
+$A \intersection B := \{x \suchthat (x \in A \land x \in B)\}$
 \end{definition_sq}
 
-Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \intersection F} = \card{E} - \card{F} + \card{E \union F}$
+Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Set^2, \card{E \intersection F} = \card{E} - \card{F} + \card{E \union F}$
 
 Example :
 
@@ -136,10 +136,10 @@ $A \intersection B = \{c_0, \cdots, c_n\}$
 Exclude elements of a set from a set
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:set_difference}
-$A \setminus B := \{x \mid (x \in A \land x \notin B)\}$
+$A \setminus B := \{x \suchthat (x \in A \land x \notin B)\}$
 \end{definition_sq}
 
-Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \setminus F} = \card{E} - \card{E \intersection F}$
+Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Set^2, \card{E \setminus F} = \card{E} - \card{E \intersection F}$
 
 \langsection{Fonction}{Function}
 

packages/macros.sty

@@ -68,6 +68,7 @@
 \newcommand{\subseteqpart}{\fbox{$\subseteq$}}
 \newcommand{\Lsubseteqpart}{\fbox{$\supseteq$}}
 \DeclareMathOperator{\divides}{\mid}
+\DeclareMathOperator{\suchthat}{\mid}
 \DeclareMathOperator{\suchas}{\text{\lang{tel que}{such as}}}
 \renewcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
 \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}