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+\langchapter{Analyse Complexe}{Complex Analysis}
+
+L'analyse complexe vise à utiliser les outils d'analyse réels dans le corps des complexes comme les suites, dérivés, intégrales etc.
+
+\langsection{Définition du corps des complexes}{Definition of the complex field}
+
+Les nombres complexes sont soit définis comme un tuple de $\R^2$ avec un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ avec la fonction $f$ suivante :
+
+\begin{paracol}{2}
+$$\function{f}{\R^2}{\C}$$
+$$\functiondef{(a, b)}{a + ib}$$
+\switchcolumn
+$$\function{p}{\R_+ \cartesianProduct \R/2\pi}{\C}$$
+$$\functiondef{(r, \theta)}{r e^{i \theta}}$$
+\end{paracol}
+
+\begin{paracol}{2}
+
+On dit alors que la partie $a$ est la \textbf{partie réelle} et $b$ la \textbf{partie imaginaire} et cette représentation est la \textbf{forme rectangulaire} du nombre complexe, on peut également utiliser la représentation en \textbf{forme polaire} de la fonction $p$
+
+Selon le contexte, on peut écrire les nombres complexes sous leur forme canonique (typiquement notée $z$) ou dans sa forme aux parties réelle et imaginaire. Également, les nombres complexes peuvent être représentées dans un plan cartésien de base $(1, i)$.
+
+\switchcolumn
+
+\[\begin{tikzpicture}
+		\begin{scope}[thick,font=\scriptsize]
+			% (1, 2) point
+			\path [fill, semitransparent] (0.8, 1.7) circle (0.05);
+			\node [below right] at (0.8, 2) {$0.8 + 1.7i$};
+			\draw [gray,thick] (0, 1.7) -- (0.8, 1.7);
+			\draw [gray,thick] (0.8, 0) -- (0.8, 1.7);
+
+			% (1.2 -sqrt{2}) point
+			\path [fill, semitransparent] (1.2, -1.4) circle (0.05);
+			\node [below right] at (1.2, -1.4) {$1.2 - 1.4i$};
+			\draw [gray,thick] (0, 0) -- (1.2, -1.4);
+			\draw [gray,thick,domain=0:-50] plot ({cos(\x) / 2.2}, {sin(\x) / 2.2});
+
+			% (-1, -1) point
+			\path [fill, semitransparent] (-1, -1) circle (0.05);
+			\node [below left] at (-1, -1) {$-1 - i$};
+			\draw [gray,thick] (0, -1) -- (-1, -1);
+			\draw [gray,thick] (-1, 0) -- (-1, -1);
+
+			% (-1.7 2.3) point
+			\path [fill, semitransparent] (-1.2, 2.3) circle (0.05);
+			\node [above left] at (-1.2, 2.3) {$-1.2 + 2.3i$};
+			\draw [gray,thick] (0, 0) -- (-1.2, 2.3);
+			\draw [gray,thick,domain=0:117] plot ({cos(\x) / 1.6}, {sin(\x) / 1.6});
+
+			% Axes
+			\draw [->] (-3, 0) -- (3, 0) node [above left]  {$\Re(z)$};
+			\draw [->] (0, -3) -- (0, 3) node [below right] {$\Im(z)$};
+
+			% Axes label
+			\foreach \n in {-2,-1,1,2}{%
+				\draw (\n, -3pt) -- (\n, 3pt) node [above] {$\n$};
+				\draw (-3pt, \n) -- (3pt, \n) node [right] {$\n i$};
+			}
+		\end{scope}
+\end{tikzpicture}\]
+
+\end{paracol}
+
+Ces parties peuvent également être extraites avec les fonctions suivantes :
+
+\begin{paracol}{2}
+$$\function{\Re}{\C}{\C}$$
+$$\functiondef{(a, b)}{a}$$
+\switchcolumn
+$$\function{\Im}{\C}{\C}$$
+$$\functiondef{(a, b)}{b}$$
+\end{paracol}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$\C \isomorphic \R^2$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Posons la fonction $g$ suivante :
+	$$\function{g}{\C}{\R^2}$$
+	$$\functiondef{z}{(\Re(z), \Im(z))}$$
+	On peut en conclure en utilisant la fonction $f$ précédente les propositions suivantes :
+	$$f \composes g \composes \Identity_\C \equivalence \forall z \in \C, f(g(z)) = f((a, b)) = z$$
+	$$g \composes f \composes \Identity_{\R \cartesianProduct \R} \equivalence \forall (a, b) \in \R^2, g(f((a, b))) = g(z) = (a, b)$$
+\end{proof}
+
+Nous pouvons ensuite définir les opérations $(+)$ et $(\cdot)$ prenant les propriétés du corps analogue des réels
+
+\begin{paracol}{2}
+$$\function{(+)}{\C^2}{\C}$$
+$$\functiondef{(a + ib, c + id)}{(a + c) + i(b + d)}$$
+\switchcolumn
+$$\function{(\cdot)}{C^2}{\C}$$
+$$\functiondef{(a + ib, c + id)}{(ac - bd) + i(ad + bc)}$$
+\end{paracol}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$(\C, +, \cdot)$ est un corps commutatif \ref{definition:commutative_field}.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(\C, +, \cdot)$, les propriétés sont directement héritées de $\R^2$.
+	% TODO Add proof details
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$\C$ est un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space} de dimension \ref{definition:vector_space_dimension} 1.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Les propriétés sont directement héritées de l'espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $\R^2$.
+	% TODO Add proof details
+\end{proof}
+
+\langsection{Fonctions holomorphes}{Holomorphic functions}
+
+Avant de définir les fonctions holomorphes, il est nécessaire de faire un pas de côté en étudiant les formes $\C$-linéaires \ref{definition:linear_map}.
+\begin{theorem_sq}
+	Les formes $\C$-linéaires sont de la forme
+	$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$
+\end{theorem_sq}