contents/logic.tex : Updated symbols and subsubsection

contents/logic.tex

@@ -1,22 +1,26 @@
 \langchapter{Logique}{Logic}
 %TODO Complete chapter
 
-La logique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des variables (notées $P,Q,R$) n'ayant pour valeur soit Vrai (noté \true), soit Faux (noté \false).
+\lang{La logique classique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des propositions (typiquement notées $p$ ou $q$) n'ayant pour valeur soit Vrai (noté \true), soit Faux (noté \false).}%
-%Logic consists of operations done on sole values : True $T$ and False $F$.
+	{Classical logic consists of operations done on sole values : True $T$ and False $F$.}
 
-\langsection{Principle de tiers exclu}{Excluding middle}
+\langsection{Principle de tiers exclu}{Excluding middle} \label{definition:law_excluding_middle}
 
 $\true \equivalence \lnot \false$
 
 $\false \equivalence \lnot \true$
 
+$\lnot\lnot p \implies p$
+
+$p \lor \lnot p$
+
 \langsection{Relation Binaires}{Binary relations}
 %TODO Complete section
 
 \langsubsection{Réflexion}{Reflexivity} \label{definition:reflexivity}
 % TODO Complete subsection
 
-Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\forall a \in E, a \Rel a$.
+Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\forall a \in E$, $a \Rel a$.
 
 \langsubsection{Transitivité}{Transitivity} \label{definition:transitivity}
 % TODO Complete subsection
@@ -31,21 +35,21 @@ Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\f
 \langsubsection{Commutativité}{Commutativity} \label{definition:commutativity}
 % TODO Complete subsection
 
-Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, a \Rel b = b \Rel a$.
+Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $a \Rel b = b \Rel a$.
 
 \langsection{Opérateurs}{Operators}
 %TODO Complete section
 
-\langsubsection{NON}{NOT}
+\langsubsection{NON $(\lnot)$}{NOT $(\lnot)$}
 % TODO Complete subsection
 
-$P \equivalence \lnot \lnot P$
+$p \equivalence \lnot \lnot p$
 
 \langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
 
 \begin{tabular}{|c|c|}
 	\hline
-	P & $\lnot P$ \\
+	$p$ & $\lnot p$ \\
 	\hline
 	\false & \true \\
 	\hline
@@ -53,14 +57,16 @@ $P \equivalence \lnot \lnot P$
 	\hline
 \end{tabular}
 
-\langsubsection{ET}{AND}
+\langsubsection{ET $(\land)$}{AND $(\land)$}
 %TODO Complete subsection
 
-$P \land Q \equivalence \lnot P \lor \lnot Q$
+$p \land q \equivalence \lnot p \lor \lnot q$
+
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
 
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
-	P & Q & P $\land$ Q \\
+	$p$ & $q$ & $p \land q$ \\
 	\hline
 	\false & \false & \false \\
 	\hline
@@ -72,16 +78,16 @@ $P \land Q \equivalence \lnot P \lor \lnot Q$
 	\hline
 \end{tabular}
 
-\langsubsection{OU}{OR}
+\langsubsection{OU $(\lor)$}{OR $(\lor)$}
 % TODO Complete subsection
 
-$P \lor Q \equivalence \lnot P \land \lnot Q$
+$p \lor q \equivalence \lnot p \land \lnot q$
 
-\medskip
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
 
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
-	P & Q & P $\lor$ Q \\
+	$p$ & $q$ & $p \lor q$ \\
 	\hline
 	\false & \false & \false \\
 	\hline
@@ -93,12 +99,14 @@ $P \lor Q \equivalence \lnot P \land \lnot Q$
 	\hline
 \end{tabular}
 
-\subsection{Implication}
+\subsection{Implication $(\implies)$}
 %TODO Complete subsection
 
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
+
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
-	P & Q & P $\Rightarrow$ Q \\
+	$p$ & $q$ & $p \implies q$ \\
 	\hline
 	\false & \false & \true \\
 	\hline
@@ -110,15 +118,32 @@ $P \lor Q \equivalence \lnot P \land \lnot Q$
 	\hline
 \end{tabular}
 
-\lang{Contraposée}{Contraposition } : \
+\lang{Contraposée}{Contraposition} : $\lnot q \implies \lnot p$
-$\lnot Q \implies \lnot P$
 
-\langsubsection{Équivalence}{Equivalence}
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
-% TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
-	$P$ & $Q$ & $P \equivalence Q$ \\
+	$p$ & $q$ & $p \implies q$ \\
+	\hline
+	\false & \false & \true \\
+	\hline
+	\true & \false & \false \\
+	\hline
+	\false & \true & \true \\
+	\hline
+	\true & \true & \true \\
+	\hline
+\end{tabular}
+
+\langsubsection{Équivalence $(\equivalence)$}{Equivalence $(\equivalence)$}
+% TODO Complete subsection
+
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
+
+\begin{tabular}{|c|c||c|}
+	\hline
+	$p$ & $q$ & $p \equivalence q$ \\
 	\hline
 	\false & \false & \true \\
 	\hline
@@ -130,14 +155,16 @@ $\lnot Q \implies \lnot P$
 	\hline
 \end{tabular}
 
-\langsubsection{OU exclusif / XOR}{Exclusive OR / XOR}
+\langsubsection{OU exclusif / XOR $(\oplus)$}{Exclusive OR / XOR $(\oplus)$}
 %TODO Complete subsection
 
-$P \oplus Q \equivalence (P \lor Q) \land \lnot (P \land Q)$
+$p \oplus q \equivalence (p \lor q) \land \lnot (p \land q)$
+
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
 
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
-	P & Q & $P \oplus Q$ \\
+	$p$ & $q$ & $p \oplus q$ \\
 	\hline
 	\false & \false & \false \\
 	\hline