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contents/dynamic_systems.tex : Fixed wrong indices of decimal expansion

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saundersp 2025-03-02 23:48:46 +01:00
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contents/dynamic_systems.tex
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@ -37,15 +37,13 @@ Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante :
$$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$ $$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
$$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$ $$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
Par induction sur le nombre d'applications successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$ Par induction sur le nombre d'applications successives $n$ on trouve immédiatement que $T_b^n = b^n x \mod 1$. En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
$$x $$x
= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}} = \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
= 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$ = 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$
avec $\forall i \in \N, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne avec $\forall i \in \N, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne
$$T_b(x) $$T_b(x)
= b \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}} \mod 1 = b \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}} \mod 1
= d_1 + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1 = d_1 + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1 = \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
= 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_{m + 1} \cdots$$ = 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_{m + 1} \cdots$$