contents/algebra.tex : Better linear group generated by transvection and dilatation proof && added special linear group definition

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@@ -640,31 +640,32 @@ $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n$ et $A^T(A^{-1})^T =
 	$\exists M^{-1} \in GL_n(\K), M^{-1}M = \Identity_n \implies M^{-1}(MA) = M^{-1}(MB) \equivalence (M^{-1}M)A = (M^{-1}M)B \equivalence A = B$
 \end{proof}
 
+\begin{lemme_sq} \label{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}
+	Pour toute matrice inversible $A$, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation, c'est-à-dire
+
+	$$A \prod\limits_{i = 1}^p M_i = D_n(\det(A))$$
+\end{lemme_sq}
+
+\begin{proof}
+	Par récurrence sur $n$. Le cas d'initialisation $n = 1$ est immédiat.
+
+	Passons à l'hérédité. Soit $A \in GL_n(\K)$ avec $n \ge 2$ et supposons l'hypothèse $h$ au rang $n - 1$. On va appliquer l'algorithme du pivot de Gauss.
+	Comme A est inversible, sa première colonne n'est pas nulle.
+	Si $a_{11} \ne 1$, alors il existe $i > 1$ tel que la matrice de transvection $T_{1, i}(\frac{1 - a_{11}}{a_{i1}})$ (ou l'opération $L_1 \leftarrow L_1 + \frac{1 - a_{11}}{a_{i1}}L_i$) permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
+	Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
+	colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe
+	des matrices de transvection cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
+	$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$
+	où $A_1 \in GL_{n - 1}(\K)$, avec l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
+\end{proof}
+
 \begin{theorem_sq}
 	L'ensemble des matrices de transvection et de dilatation engendre le groupe $GL_n(\K)$.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
-	Soit $A \in GL_n(\K)$.
+	Soit $A \in GL_n(\K)$, sachant \ref{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation $D_n(det(A))$, or comme une matrice de dilatation est inversible, on peut conclure que
-	On va appliquer l'algorithme du pivot de Gauss, nous allons transformer A en une matrice de dilatation, mais en utilisant uniquement des transvections.
+	$$A \left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i \right) D_n(\det(A)^{-1}) = \Identity_n$$
-	Comme A est inversible, sa première colonne n'est pas nulle.
-	S'il existe $i > 1$ tel que $a_{i1} \ne 0$, alors l'opération $L_1 \leftarrow L_1 - \frac{a_{11}}{a_{i1}}L_i$ permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
-	Sinon, nécessairement $a_{11} \ne 0$ et on fait $L_1 \leftarrow L_2$ et $L_2 \leftarrow -L_1$ pour se ramener au cas précédent.
-	Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
-	colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne : il existe
-	des matrices de transvection $M1, \dots , Mp$ et $N1, \dots , Nq$ telles que
-
-	$$\left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i\right) A \left(\prod\limits_{i = 1}^q N_i\right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$$
-
-	où $A_1 \in GL_{n - 1}(\K)$.
-
-	On itère ce procédé sur $A_1$ et ainsi de suite jusqu'à $\begin{pmatrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & \\ & & & \alpha \end{pmatrix}$
-
-	où $\alpha = \prod_{v \in sp(A)} v$.
-
-	Ainsi, il existe des matrices de transvection $U_1, \dots, U_r$ et $V_1, \dots, V_r$ telles que $A = U_r \dots U_1 D_n(\alpha) V_1 \dots V_s$
-
-	Ainsi, tout matrice de $GL_n(\K)$ s'écrit comme produit de matrices de transvection et de dilatation.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -718,6 +719,31 @@ Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversibl
 
 \end{proof}
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:special_linear_group}
+	L'ensemble \textbf{groupe spécial linéaire} noté $SL_n(\K)$ est le sous ensemble de $GL_n(\K)$ tel que le déterminant est égale à 1.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Le tuple $(SL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Vérifions chaque axiome d'un groupe. $\det(\Identity_n) = 1 \equivalence \Identity_n \in SL_n(\K)$.
+
+	La propriété du déterminant $\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B)$ permet de montrer les propositions suivantes :
+	$$\forall (A, B) \in SL_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 * 1 = 1 \implies AB \in SL_n(\K)$$
+	$$\forall A \in SL_n(\K), \exists! A^{-1} \in GL_n(\K), 1 = \det(\Identity_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in SL_n(\K)$$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	L'ensemble des matrices de transvection engendre $SL_n(\K)$ \ref{definition:special_linear_group}.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $A \in SL_n(\K)$, sachant \ref{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation $D_n(det(A))$, or comme $\det(A) = 1$ cela revient à la matrice identité, on peut donc en conclure que
+	$$A \left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i \right) = \Identity_n$$
+\end{proof}
+
 \pagebreak
 
 \begin{theorem_sq}