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contents/differential_equations.tex : Added introductory definitions

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saundersp 2025-02-09 22:13:32 +01:00
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contents/differential_equations.tex
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@ -7,9 +7,32 @@ $$(t,Y) \in \Omega, t \in \R, Y \in \K^n, Y^{(1)} = f(t,Y)$$
La variable $t$ est appelée la \textit{variable de temps} et la variable $Y$ la \textit{variable d'état} puisqu'elle décrit les différents états du système.
\section{Linéaire homogéne}
%TODO Complete section
\begin{definition_sq} \label{definition:differential_equations}
On appelle \textbf{équation différentielle} $(\mathcal{E}_n)$ d'ordre $n \in \N^*$ d'un corps $\K^N$ de dimension $N \in \N^*$ définie sur $I$ un ouvert de $\R \cartesianProduct (\K^N)^n$ et $\function{f}{I}{\K^N}$ tel que
\section{Non-linéaire homogéne}
%TODO Complete section
$$y^{(n)} = f(t, y, y', \cdots, y^{(n - 1)})$$
Pour $(t, y, y', \cdots, y^{(n - 1)}) \in I, t \in \R, y \in \K^N$.
La variable $t$ est appelée \textbf{variable temporelle} et la variable $y$ \textbf{variable d'état}.
\end{definition_sq}
\begin{definition_sq} \label{definition:differential_equations_solution}
On appelle \textbf{solution d'équation différentielle} $(\mathcal{E}_n)$ un couple $(J, y)$ où $J \subseteq I$ est un intervalle de $\R$ et $y$ une fonction $n$ fois dérivable $\function{y}{J}{\K^N}$ telle que :
$$\forall t \in J, (t, y(t), y'(t), \cdots, y^{(n - 1)}(t)) \in I$$
$$\forall t \in J, y^{(n)}(t) = f(t, y(t), y'(t), \cdots, y^{(n - 1)}(t))$$
\end{definition_sq}
\begin{definition_sq} \label{definition:chauchy_problem}
On appelle \textbf{problème de Cauchy} un couple $(t_0, y_0) \in I$ des données initiales consistant à trouver la (ou les) solution(s) $y$ de $(\mathcal{E})$ sur un intervalle $I$ telle(s) que $t_0 \in I$ et $y(t_0) = y_0$. On dit que la condition $y(t_0) = y_0$ est la \textbf{condition initiale} ou \textbf{condition de Cauchy}.
\end{definition_sq}
\langsection{Cas linéaire}{Linear case}
\begin{definition_sq} \label{definition:linear_differential_equation}
On dit que l'équation différentielle \ref{definition:differential_equations} $y' = f(t, y)$ est une \textbf{équation différentielle linéaire} si $f(t, y) = A(t)y + B(t)$ où $A$ et $B$ sont des fonctions du temps à valeurs respectives dans $M_N(\K)$ et $K^N$. Les autres formes d'équations différentielles sont qualifiées de non linéaires.
\end{definition_sq}
\begin{definition_sq} \label{definition:linear_homogenous_differential_equation}
Lorsque l'équation différentielle linéaire \ref{definition:linear_differential_equation} $y' = A(t)y + B(t)$ avec $B = 0$ on parle \textbf{d'équation différentielle linéaire homogène} (ou sans second membre). Si $B$ est non identiquement nulle, on parle d'équation différentielle linéaire avec second membre.
\end{definition_sq}