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contents/number_theory.tex
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@ -55,12 +55,10 @@ L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible.
De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie.
\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
\begin{proof}
La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
\medskip
$\N_{2} = \{2n | n \in \N\}$
Ou
@ -69,7 +67,7 @@ $\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$
$\functiondef{n}{2n}$
\medskip
\end{proof}
On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante :
@ -112,7 +110,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la t
L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
\end{theorem_sq}
\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
\begin{proof}
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
@ -122,7 +120,7 @@ $\function{f}{\Z}{\N}$
$\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
\medskip
\end{proof}
\langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
%TODO Complete section
@ -153,7 +151,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombra
L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
\end{theorem_sq}
\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
\begin{proof}
\begin{center}
\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
@ -163,9 +161,11 @@ $P_i$ sont des nombres premiers.
$\function{f}{\Q}{\N}$
$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$
$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{\abs{p}} + 1}P_2^pP_3^q}$
\medskip
\end{proof}
\end{proof}
\langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}
%TODO Complete section
@ -315,7 +315,7 @@ Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujour
Il existe une infinité de nombres premiers.
\end{theorem_sq}
\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
\begin{proof}
\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}