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@ -19,8 +19,8 @@ $\function{\norm{.}}{E}{\R}$
\begin{itemize}
\item{$\forall x \in E, \norm{x} \ge 0$}
\item{$\norm{x} \equivalance x = 0$}
\item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = |\lambda|\norm{x}$}
\item{$\norm{x} \equivalence x = 0$}
\item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
\item{$\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} (inégalité triangulaire)
\end{itemize}
@ -33,10 +33,10 @@ On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}.
$n \in \N^*, E = \R^n$
\begin{itemize}
\item{$\norm{x}_1 = \sum_{i=0}^n |x_i|$}
\item{$\norm{x}_1 = \sum_{i=0}^n \abs{x_i}$}
\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=0}^n x^2_i}$}
\item{$\norm{x}_\infty = \max\{|x_0|, \dots, |x_n|\}$}
\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 |P(x)|dx$}
\item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_0}, \dots, \abs{x_n}\}$}
\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 \abs{P(x)}dx$}
\item{$m \in \N^*, E = \mathcal{L}(R^n, R^m), \norm{\phi} = \max\{\norm{\phi(e_i)}_\infty, i \subseteq N^*\}$} ($e_i :=$ base canonique de $\R^n$)
\item{Avec $(E,\norm{.}_E)$ et $(F,\norm{.}_F)$, on définit la \textbf{norme produit} $\norm{E \times F}$ sur $E \times F$ par $u \in E, v \in F, \norm{(u,v)}_{E \times F} = \norm{u}_E + \norm{v}_F$}
\end{itemize}
@ -102,7 +102,7 @@ Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$
$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
\\
Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que
@ -112,13 +112,13 @@ $\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$
$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$
$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$
$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$
$\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$
$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
$\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
$\Rightarrow (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$.
$\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$.
Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
@ -132,25 +132,25 @@ Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.
$\Leftrightarrow \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
$\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
$\Leftrightarrow (x_n)$ est fermée.
$\equivalence (x_n)$ est fermée.
\begin{theorem_sq} \label{theorem_2}
Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \|.\|)$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
\end{theorem_sq}
\subsection{Exercice 2}
Soit $(E, \|.\|)$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \|.\|)$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
\end{definition_sq}
\begin{lemme_sq}
$K$ est compact $\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation.
$K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation.
\end{lemme_sq}
$K$ est compact
@ -158,40 +158,40 @@ $K$ est compact
Soit $\epsilon > 0$ \&\& $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$
$\Rightarrow \exists l \in K$ tel que $\lim_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
$\Rightarrow \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$
$\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$
$\Rightarrow l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$
$\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$
$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
$\implies K$ possède un point d'accumulation
\begin{lemme_sq}
$K$ possède un point d'accumulation. $\Rightarrow K$ est compact.
$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact.
\end{lemme_sq}
Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$
\paragraph{Si $X$ est fini}
$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
$\Rightarrow X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
$\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
$\implies K$ possède un point d'accumulation
\paragraph{Si $X$ est infini}
$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
En fixant $l \in X$,
$\Rightarrow$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$
$\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$
$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
$\implies K$ possède un point d'accumulation
\begin{theorem_sq}
$K \subset (E, \|.\|)$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \Leftrightarrow K$ est compact.
$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact.
\end{theorem_sq}
\subsection{Exercice 3}
@ -201,9 +201,9 @@ Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$
Selon le \textbf{Théorème \ref{theorem_1}} et \textbf{\ref{theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée
$\Rightarrow$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$
$\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$
$\Rightarrow$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.
$\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.
\begin{theorem_sq}
Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
@ -212,37 +212,45 @@ Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimu
\subsection{Exercice 4}
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \|x_{n_1} - x_{n_2} \| \le \epsilon$$
$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$
Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
\\
\begin{lemme_sq}
Si une suite est de Cauchy $\Rightarrow$ la suite est convergente.
Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente.
\end{lemme_sq}
\begin{proof}
En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas.
$\Rightarrow \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$
$\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$
$\Rightarrow \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N$ \&\& $j \le N$, $\|x_i - x_j\| > \epsilon$
$\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$
$\Rightarrow$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.
$\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.
\end{proof}
\begin{lemme_sq}
Si une suite est convergente $\Rightarrow$ la suite est de Cauchy.
Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy.
\end{lemme_sq}
Soit \suite{x} $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$
\begin{proof}
$\Rightarrow \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$
Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
$\Rightarrow \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$ \&\& $x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$
$\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$
$\Rightarrow \|x_i - x_j\| < \epsilon$
$\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$
$\Rightarrow (x_n)$ est une suite de Cauchy.
$\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$
$\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy.
\end{proof}
\begin{theorem_sq}
Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\Leftrightarrow$ $(x_n)$ est convergente.
Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente.
\end{theorem_sq}