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@ -12,17 +12,17 @@ Soit un ensemble $S$ avec une loi de composition interne $(\star)$ notée $(S,\s
Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,\star)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e \star a = a$.
\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid}
\subsection{Monoïde} \label{definition:monoid}
Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,\star)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
\langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group}
Soit un monoïd \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$.
Soit un monoïde \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$.
\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group}
Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.
Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
@ -35,7 +35,7 @@ Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesi
\langsubsubsection{Corps abélien}{Abelian field} \label{definition:abelian_field}
Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.
Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
%TODO Complete subsection
@ -43,7 +43,7 @@ Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition
\section{Matrices}
%TODO Complete section
Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
@ -207,7 +207,7 @@ $$\forall v \in E, \exists \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i =
\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
\begin{definition_sq}
Une famille est dite une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
Une famille est appelée une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
\end{definition_sq}
\subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension}
@ -285,7 +285,7 @@ Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$
\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants :
Une forme bilinéaire est une application $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respecte les axiomes suivants :
$u,v,w \in E, a \in K$
@ -301,41 +301,45 @@ $u,v,w \in E, a \in K$
\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respectes les axiomes suivants :
Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respecte les axiomes suivants :
\begin{itemize}
\item{Symétrie: $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
\item{Non-dégénérescence: $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
\item{Symétrie : $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
\item{Non-dégénérescence : $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
\end{itemize}
\langsubsection{Norme réel}{Real norm}
\langsubsection{Norme réelle}{Real norm}
\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respectes les axiomes suivants :
Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respecte les axiomes suivants :
\begin{itemize}
\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
\item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
\item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
\item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
\item{Inégalité triangulaire : $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
\end{itemize}
\langsubsection{Norme complexe}{Complex norm}
\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respectes les axiomes suivants :
Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respecte les axiomes suivants :
\begin{itemize}
\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
\item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
\item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
\item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
\item{Inégalité triangulaire : $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
\end{itemize}
\langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}
A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire note $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un espace pré-hilbertien.
\begin{definition_sq} \label{definition:prehilbertian_space}
Un $\K$-espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire $\innerproduct{-}{-}$ noté comme un tuple $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un \textbf{espace pré-hilbertien}.
\end{definition_sq}
\langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space}
Un espace euclidien est une espace pré-hilbertien réel à dimension finie.
\begin{definition_sq} \label{definition:euclidian_space}
Un \textbf{espace euclidien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} réel à dimension finie.
\end{definition_sq}